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O Teorema Virial estabelece que a energia cinética média de um sistema de partículas é igual ao seu virial para os casos em que o valor médio de G seja constante ( ⟨dGdt⟩=0{displaystyle langle {frac {dG}{dt}}rangle =0} ):

⟨T⟩=S=−12⟨∑k=1NFk⋅rk⟩{displaystyle langle Trangle =S=-{frac {1}{2}}leftlangle sum _{k=1}^{N}mathbf {F} _{k}cdot mathbf {r} _{k}rightrangle } ^[1].

Considere-se a seguinte quantidade física:

G=∑k=1Npk⋅rk{displaystyle G=sum _{k=1}^{N}mathbf {p} _{k}cdot mathbf {r} _{k}}

onde rk{displaystyle mathbf {r} _{k}} e pk{displaystyle mathbf {p} _{k}} são o vetor posição e o vetor momento, respectivamente, da k-ésima partícula de um sistema de partículas. O virial S{displaystyle S} de um conjunto de N{displaystyle N} partículas é definido de tal forma que

S=−12⟨∑k=1Ndpkdt⋅rk⟩=−12⟨∑k=1NFk⋅rk⟩{displaystyle S=-{frac {1}{2}}leftlangle sum _{k=1}^{N}{frac {dmathbf {p} _{k}}{dt}}cdot mathbf {r} _{k}rightrangle =-{frac {1}{2}}leftlangle sum _{k=1}^{N}mathbf {F} _{k}cdot mathbf {r} _{k}rightrangle }

onde o símbolo ⟨⟩{displaystyle leftlangle rightrangle } representa a média temporal da grandeza por ele encerrada ao longo do intervalo de tempo adequado à situação, tipicamente o período de oscilação em movimentos periódicos.

A expressão "virial" deriva do Latim, vis, viris, palavra para "força" ou "energia" e foi cunhada por Rudolf Clausius (1822-1888) em 1870.

Uma das grandes utilidades do teorema do virial se deve ao fato de que ele permite que a energia cinética total seja calculada mesmo para sistemas complicados que não têm uma solução exata, tais como aqueles considerados em mecânica estatística.
Por exemplo, o teorema do virial pode ser usado para derivar o teorema da equipartição, a equação de Clapeyron para os gases ideais ou mesmo para calcular o limite de Chandrasekhar para a estabilidade de estrelas anãs brancas.

Obtendo a expressão matemática para o virial |

A derivada temporal de G pode ser escrita como

dGdt=∑k=1Ndpkdt⋅rk+∑k=1Npk⋅drkdt{displaystyle {frac {dG}{dt}}=sum _{k=1}^{N}{frac {dmathbf {p} _{k}}{dt}}cdot mathbf {r} _{k}+sum _{k=1}^{N}mathbf {p} _{k}cdot {frac {dmathbf {r} _{k}}{dt}}}

=∑k=1NFk⋅rk+∑k=1Nmkdrkdt⋅drkdt{displaystyle =sum _{k=1}^{N}mathbf {F} _{k}cdot mathbf {r} _{k}+sum _{k=1}^{N}m_{k}{frac {dmathbf {r} _{k}}{dt}}cdot {frac {dmathbf {r} _{k}}{dt}}}

ou, de modo mais simples,

dGdt=2T+∑k=1NFk⋅rk.{displaystyle {frac {dG}{dt}}=2T+sum _{k=1}^{N}mathbf {F} _{k}cdot mathbf {r} _{k}.}

Aqui, mk{displaystyle m_{k}} representa a massa da k{displaystyle k}-ésima partícula,
Fk=dpkdt{displaystyle mathbf {F} _{k}={frac {dmathbf {p} _{k}}{dt}}} é a força líquida atuando sobre
a partícula e T{displaystyle T} é a energia cinética total do sistema.

T=12∑k=1Nmkvk2=12∑k=1Nmkdrkdt⋅drkdt.{displaystyle T={frac {1}{2}}sum _{k=1}^{N}m_{k}v_{k}^{2}={frac {1}{2}}sum _{k=1}^{N}m_{k}{frac {dmathbf {r} _{k}}{dt}}cdot {frac {dmathbf {r} _{k}}{dt}}.}

A média desta derivada no intervalo de tempo τ{displaystyle tau } é definida como:

⟨dGdt⟩τ=1τ∫0τdGdtdt=1τ∫0τdG=G(τ)−G(0)τ,{displaystyle leftlangle {frac {dG}{dt}}rightrangle _{tau }={frac {1}{tau }}int _{0}^{tau }{frac {dG}{dt}},dt={frac {1}{tau }}int _{0}^{tau }dG={frac {G(tau )-G(0)}{tau }},}

Assim, tomando a média dos dois lados da expressão para a derivada de G com relação ao tempo, temos:

⟨dGdt⟩τ=2⟨T⟩τ+∑k=1N⟨Fk⋅rk⟩τ.{displaystyle leftlangle {frac {dG}{dt}}rightrangle _{tau }=2leftlangle Trightrangle _{tau }+sum _{k=1}^{N}leftlangle mathbf {F} _{k}cdot mathbf {r} _{k}rightrangle _{tau }.}

Da expressão acima segue-se que, se ⟨dGdt⟩τ=0{displaystyle leftlangle {frac {dG}{dt}}rightrangle _{tau }=0}, então

2⟨T⟩τ=−∑k=1N⟨Fk⋅rk⟩τ.{displaystyle 2leftlangle Trightrangle _{tau }=-sum _{k=1}^{N}leftlangle mathbf {F} _{k}cdot mathbf {r} _{k}rightrangle _{tau }.}

Existem muitas razões pelas quais a média das derivadas temporais podem se anular, isto é,

⟨dGdt⟩τ=0{displaystyle leftlangle {frac {dG}{dt}}rightrangle _{tau }=0}.

Uma razão frequentemente citada se aplica à
sistemas ligados, i.e., sistemas em que as partículas permanecem sempre juntas.
Nesse caso, o virial Gbound{displaystyle G^{mathrm {bound} }} está normalmente entre dois valores extremos,
Gmin{displaystyle G_{min }} e Gmax{displaystyle G_{max }}, e a média vai a zero para o
limite de tempos muitos longos τ{displaystyle tau }

limτ→∞|⟨dGbounddt⟩τ|=limτ→∞|G(τ)−G(0)τ|≤limτ→∞Gmax−Gminτ=0.{displaystyle lim _{tau rightarrow infty }left|leftlangle {frac {dG^{mathrm {bound} }}{dt}}rightrangle _{tau }right|=lim _{tau rightarrow infty }left|{frac {G(tau )-G(0)}{tau }}right|leq lim _{tau rightarrow infty }{frac {G_{max }-G_{min }}{tau }}=0.}

Mesmo se a média da derivada temporal ⟨dGdt⟩τ{displaystyle leftlangle {frac {dG}{dt}}rightrangle _{tau }}
é somente aproximadamente zero, o teorema do virial continua valendo, com a mesma ordem de aproximação.

Assim, quando a média da derivada temporal de G anula-se,

⟨T⟩τ=−12∑k=1N⟨Fk⋅rk⟩τ.{displaystyle leftlangle Trightrangle _{tau }=-{frac {1}{2}}sum _{k=1}^{N}leftlangle mathbf {F} _{k}cdot mathbf {r} _{k}rightrangle _{tau }.}

que é a expressão matemática para o Teorema do Virial.
^[2]

Relação com a energia potencial |

A força total Fk{displaystyle mathbf {F} _{k}} atuando sobre a partícula k{displaystyle k}
é a soma de todas as forças exercidas pelas outras partículas do sistema, j{displaystyle j}

Fk=∑j=1NFjk{displaystyle mathbf {F} _{k}=sum _{j=1}^{N}mathbf {F} _{jk}}

onde, Fjk{displaystyle mathbf {F} _{jk}} é a força aplicada pela partícula j{displaystyle j} na partícula k{displaystyle k}.
Portanto, o termo de força da derivada temporal do virial pode ser escrito como

∑k=1NFk⋅rk=∑k=1N∑j=1NFjk⋅rk.{displaystyle sum _{k=1}^{N}mathbf {F} _{k}cdot mathbf {r} _{k}=sum _{k=1}^{N}sum _{j=1}^{N}mathbf {F} _{jk}cdot mathbf {r} _{k}.}

Como nenhuma partícula atua sobre sí mesma (i.e., Fjk=0{displaystyle mathbf {F} _{jk}=0}, sempre que j=k{displaystyle j=k}), temos que

∑k=1NFk⋅rk=∑k=1N∑j<kFjk⋅rk+∑k=1N∑j>kFjk⋅rk=∑k=1N∑j<kFjk⋅(rk−rj).{displaystyle sum _{k=1}^{N}mathbf {F} _{k}cdot mathbf {r} _{k}=sum _{k=1}^{N}sum _{j<k}mathbf {F} _{jk}cdot mathbf {r} _{k}+sum _{k=1}^{N}sum _{j>k}mathbf {F} _{jk}cdot mathbf {r} _{k}=sum _{k=1}^{N}sum _{j<k}mathbf {F} _{jk}cdot left(mathbf {r} _{k}-mathbf {r} _{j}right).}

onde assumimos que a terceira lei de Newton pode ser aplicada, i.e., Fjk=−Fkj{displaystyle mathbf {F} _{jk}=-mathbf {F} _{kj}}
(reações iguais e opostas).

É comum acontecer que as forças possam ser derivadas da energia potencial V{displaystyle V}
que é uma função somente da distância, rjk{displaystyle r_{jk}}, entre as partículas
j{displaystyle j} e k{displaystyle k}. Como força é o gradiente da energia potencial,
temos, neste caso

Fjk=−∇rkV=−dVdrrk−rjrjk,{displaystyle mathbf {F} _{jk}=-nabla _{mathbf {r} _{k}}V=-{frac {dV}{dr}}{frac {mathbf {r} _{k}-mathbf {r} _{j}}{r_{jk}}},}

a qual é igual e oposta a Fkj=−∇rjV{displaystyle mathbf {F} _{kj}=-nabla _{mathbf {r} _{j}}V},
a força aplicada pela partícula k{displaystyle k} sobre a partícula j{displaystyle j},
como pode ser confirmado por cálculos explícitos. Portanto, o termo de força da derivada temporal
do virial é

∑k=1NFk⋅rk=∑k=1N∑j<kFjk⋅(rk−rj)=−∑k=1N∑j<kdVdr(rk−rj)2rjk=−∑k=1N∑j<kdVdrrjk.{displaystyle sum _{k=1}^{N}mathbf {F} _{k}cdot mathbf {r} _{k}=sum _{k=1}^{N}sum _{j<k}mathbf {F} _{jk}cdot left(mathbf {r} _{k}-mathbf {r} _{j}right)=-sum _{k=1}^{N}sum _{j<k}{frac {dV}{dr}}{frac {left(mathbf {r} _{k}-mathbf {r} _{j}right)^{2}}{r_{jk}}}=-sum _{k=1}^{N}sum _{j<k}{frac {dV}{dr}}r_{jk}.}

Aplicação a forças que seguem uma lei da potência |

É comum acontecer que a energia potencial V{displaystyle V} é uma função do tipo lei de potência

V(rjk)=αrjkn,{displaystyle V(r_{jk})=alpha r_{jk}^{n},}

onde o coeficiente α{displaystyle alpha } e o expoente n{displaystyle n} são constantes.
Em tais casos, temos:

−∑k=1NFk⋅rk=∑k=1N∑j<kdVdrrjk=∑k=1N∑j<knV(rjk)=nU{displaystyle -sum _{k=1}^{N}mathbf {F} _{k}cdot mathbf {r} _{k}=sum _{k=1}^{N}sum _{j<k}{frac {dV}{dr}}r_{jk}=sum _{k=1}^{N}sum _{j<k}nV(r_{jk})=nU}

onde U{displaystyle U} é a energia potencial total do sistema

U=∑k=1N∑j<kV(rjk).{displaystyle U=sum _{k=1}^{N}sum _{j<k}V(r_{jk}).}

Em tais casos, quando
⟨dGdt⟩τ=0{displaystyle leftlangle {frac {dG}{dt}}rightrangle _{tau }=0}, a equação geral torna-se

⟨T⟩τ=−12∑k=1N⟨Fk⋅rk⟩τ=n2⟨U⟩τ.{displaystyle langle Trangle _{tau }=-{frac {1}{2}}sum _{k=1}^{N}langle mathbf {F} _{k}cdot mathbf {r} _{k}rangle _{tau }={frac {n}{2}}langle Urangle _{tau }.}

Um exemplo muito citado é a força de atração gravitacional, para a qual n=−1{displaystyle n=-1}.
Neste caso,

⟨T⟩τ=−12⟨U⟩τ.{displaystyle langle Trangle _{tau }=-{frac {1}{2}}langle Urangle _{tau }.}

Este resultado é notavelmente útil para sistemas gravitantes complexos, tais como o sistema solar ou galáxias,
e também para sistemas eletrostáticos, para os quais n=−1{displaystyle n=-1}, também.

A pesar de ter sido derivado para a mecânica clássica, o teorema do virial também vale para a
mecânica quântica.

Inclusão de campos eletromagnéticos |

O teorema do virial pode ser expandido para incluir o campo magnético e o campo elétrico.
^[3]

12d2dt2I+∫Vxk∂Gk∂td3r=2(T+U)+WE+WM−∫xk(pik+Tik)dSi,{displaystyle {frac {1}{2}}{frac {d^{2}}{dt^{2}}}I+int _{V}x_{k}{frac {partial G_{k}}{partial t}}d^{3}r=2(T+U)+W^{E}+W^{M}-int x_{k}(p_{ik}+T_{ik})dS_{i},}

onde I é o momentum de inércia, G é o vetor Poynting, T é a energia cinética do "fluido",
U é a energia térmica (aleatória ou cinética) das partículas,
W^E e W^M são as energias dos campos elétrico e magnético contidas no volume considerado.
Finalmente, p_ik é o tensor pressão de fluido expresso no sistema de coordenadas móvel local

pik=Σnσmσ⟨vivk⟩σ−ViVkΣmσnσ{displaystyle p_{ik}=Sigma n^{sigma }m^{sigma }langle v_{i}v_{k}rangle ^{sigma }-V_{i}V_{k}Sigma m^{sigma }n^{sigma }},

e T_ik é o tensor de stress eletromagnético,

Tik=(ε0E22+B22μ0)−(ε0EiEk+BiBkμ0).{displaystyle T_{ik}=left({frac {varepsilon _{0}E^{2}}{2}}+{frac {B^{2}}{2mu _{0}}}right)-left(varepsilon _{0}E_{i}E_{k}+{frac {B_{i}B_{k}}{mu _{0}}}right).}

Um plasmoide é uma configuração finita de campos magnéticos e plasma. Com o teorema do virial é fácil ver que
qualquer configuração que seja, se expandirá se não for contida por forças externas. Em uma configuração finita sem
paredes de pressão-rolamento ou bobinas magnéticas, a integral de superfície será nula. Como todos os outros termos
do lado direito são positivos, a aceleração do momentum de inércia também será positiva. Também é fácil de estimar
o tempo de expansão τ. Se a massa total M está confinada dentro de um raio R, então o momentum de inércia
é aproximadamente MR², e o lado esquerdo do teorema do virial é MR ²/τ².
Os termos no lado direito somam até cerca de pR³, onde p é o maior entre a pressão de
plasma e a pressão magnética. Equacionando esses dois termos e resolvendo para τ, encontramos

τ∼R/cs,{displaystyle tau ,sim R/c_{s},}

onde c_s é a velocidade da onda acústica de íons (ou onda de Alfven), se a pressão magnética
é maior que a pressão de plasma). Logo, a meia-vida esperada para um plasmóide é da ordem do tempo de trânsio
acústico (ou de Alfven).

Referências |

Leitura adicional |

• Goldstein H. (1980) Classical Mechanics, 2nd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9