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ΔABC é um triângulo retângulo, pois BĈA = 90°

Triângulo retângulo, em geometria, é um triângulo que possui um ângulo reto e outros dois ângulos agudos, para tanto basta que tenha um ângulo reto (90°), pois a soma dos três ângulos internos é igual a um ângulo raso (180°). É uma figura geométrica muito usada na matemática, no cálculo de áreas, volumes e no cálculo algébrico. Em um triângulo retângulo, sabendo-se as medidas de dois lados ou a medida de um lado mais a medida de um ângulo agudo, é possível calcular a medida dos demais lados e ângulos. A área de um triângulo retângulo é dada pela metade do produto dos menores lados. A relação entre os lados e ângulos de um triângulo retângulo é a base da trigonometria.

Elementos do triângulo retângulo |

Elementos de um triângulo retângulo. Os pontos A, B e C, os lados opostos a (hipotenusa), b e c (catetos) e as projeções de b e c, m e n.

Um triângulo retângulo é composto por quatro principais elementos:

• 
  Catetos;


• 
  Hipotenusa;


• Altura relativa à hipotenusa;


• Projeções dos catetos.

Catetos |

Os catetos são os menores lados do triângulo retângulo. Eles formam o ângulo de 90°.

Altura relativa à hipotenusa |

A altura relativa à hipotenusa é a distância entre a hipotenusa e o vértice oposto.

Projeções dos catetos |

A altura relativa à hipotenusa divide-a em duas partes, denominadas projeções dos catetos.

Relações métricas do triângulo retângulo |

As relações métricas do triângulo retângulo são quatro. Os três triângulos formados ao traçar a altura relativa à hipotenusa são retângulos e semelhantes.

Ilustração dos principais elementos do triângulo retângulo: a é a hipotenusa, b o cateto maior, c o cateto menor, h a altura relativa à hipotenusa, m a projeção do cateto b e n a projeção do cateto c

• A hipotenusa é igual à soma das projeções.

a=m+n{displaystyle a=m+n}

Por semelhança de triângulos, temos que:

• O quadrado da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das projeções dos catetos.


•  : hm=nh⇒h2=mn{displaystyle {frac {h}{m}}={frac {n}{h}}Rightarrow h^{2}=mn}
  


• O quadrado de um cateto é igual ao produto entre a sua projeção (que se encontra do seu lado) e a hipotenusa.


•  : ba=mb⇒b2=am{displaystyle {frac {b}{a}}={frac {m}{b}}Rightarrow b^{2}=am}
  


•  : ca=nc⇒c2=an{displaystyle {frac {c}{a}}={frac {n}{c}}Rightarrow c^{2}=an}
  


• O produto entre a hipotenusa e a altura relativa a ela é igual ao produto dos catetos.


•  : ac=bh⇒ah=bc{displaystyle {frac {a}{c}}={frac {b}{h}}Rightarrow ah=bc}
  

Teorema de Pitágoras |

O Teorema de Pitágoras diz que:

ou, em linguagem matemática:

hipotenusa (AB)² = cateto (BC)² + cateto (CA)²

Relações trigonométricas do triângulo retângulo |

Outra maneira de calcular a medida dos lados de um triângulo retângulo é através da medida de um ângulo e um lado, usando a Trigonometria. As principais relações trigonométricas são: Seno, Cosseno e Tangente. Há outras três: Cotangente, Secante e Cossecante.

Seno de um ângulo |

É dado pela razão entre os lados que formam o outro ângulo agudo, dado pela ordem :

sen A=cateto opostohipotenusa{displaystyle {mbox{sen }}A={{mbox{cateto oposto}} over {mbox{hipotenusa}}}}

Cosseno de um ângulo |

Cosseno: É a razão entre a medida do cateto adjacente e a medida da hipotenusa e é dado pela razão entre os lados que formam o próprio ângulo agudo, dado pela ordem::

cos⁡A=cateto adjacentehipotenusa{displaystyle cos A={{mbox{cateto adjacente}} over {mbox{hipotenusa}}}}

Tangente de um ângulo |

É dado pela razão entre o Seno e o Cosseno de um ângulo, ou entre os catetos, dado pela seguinte ordem::

tg A=sen Acos⁡A=cateto opostocateto adjacente{displaystyle {mbox{tg }}A={{mbox{sen }}A over cos A}={{mbox{cateto oposto}} over {mbox{cateto adjacente}}}}

Cotangente de um ângulo |

É dado pela razão entre o Cosseno e o Seno de um ângulo, ou entre os catetos, dado pela seguinte ordem:

cotg A=cos⁡Asen A=cateto adjacentecateto oposto{displaystyle {mbox{cotg }}A={cos A over {mbox{sen }}A}={{mbox{cateto adjacente}} over {mbox{cateto oposto}}}}

Secante de um ângulo |

É dado pelo inverso do cosseno desse ângulo ou entre os lados que formam o próprio ângulo, dado na seguinte ordem:

sec⁡A=1cos⁡A=hipotenusacateto adjacente{displaystyle sec A={1 over cos A}={{mbox{hipotenusa}} over {mbox{cateto adjacente}}}}

Cossecante de um ângulo |

É dado pelo inverso do seno desse ângulo ou entre os lados que formam o outro ângulo agudo, dado na seguinte ordem:

cossec A=1sen A=hipotenusacateto oposto{displaystyle {mbox{cossec }}A={1 over {mbox{sen }}A}={{mbox{hipotenusa}} over {mbox{cateto oposto}}}}

Ângulos notáveis |

Graus	Radianos	sen	cos	tg	cotg	sec	cossec
0	0	02=0{displaystyle {tfrac {sqrt {0}}{2}}=0}	42=1{displaystyle {tfrac {sqrt {4}}{2}}=1}	0{displaystyle 0}	∞{displaystyle infty }	1{displaystyle 1}	∞{displaystyle infty }
30	π6{displaystyle {tfrac {pi }{6}}}	12=12{displaystyle {tfrac {sqrt {1}}{2}}={tfrac {1}{2}}}	32{displaystyle {tfrac {sqrt {3}}{2}}}	13{displaystyle {tfrac {1}{sqrt {3}}}}	3{displaystyle {sqrt {3}}}	233{displaystyle {tfrac {2{sqrt {3}}}{3}}}	2{displaystyle 2}
45	π4{displaystyle {tfrac {pi }{4}}}	22=12{displaystyle {tfrac {sqrt {2}}{2}}={tfrac {1}{sqrt {2}}}}	22=12{displaystyle {tfrac {sqrt {2}}{2}}={tfrac {1}{sqrt {2}}}}	1{displaystyle 1}	1{displaystyle 1}	222{displaystyle {tfrac {2{sqrt {2}}}{2}}}	222{displaystyle {tfrac {2{sqrt {2}}}{2}}}
60	π3{displaystyle {tfrac {pi }{3}}}	32{displaystyle {tfrac {sqrt {3}}{2}}}	12=12{displaystyle {tfrac {sqrt {1}}{2}}={tfrac {1}{2}}}	3{displaystyle {sqrt {3}}}	33{displaystyle {tfrac {sqrt {3}}{3}}}	2{displaystyle 2}	233{displaystyle {tfrac {2{sqrt {3}}}{3}}}
90	π2{displaystyle {tfrac {pi }{2}}}	42=1{displaystyle {tfrac {sqrt {4}}{2}}=1}	02=0{displaystyle {tfrac {sqrt {0}}{2}}=0}	∞{displaystyle infty }	0{displaystyle 0}	∞{displaystyle infty }	1{displaystyle 1}

Circunferência inscrita em um triângulo retângulo |

O diâmetro (d) de uma circunferência inscrita num triângulo rectângulo (a b c) é igual à soma dos catetos, menos a hipotenusa, representado pela seguinte fórmula:

a+b=c+d{displaystyle a+b=c+d}

• 
  a={displaystyle a=} cateto
  


• 
  b={displaystyle b=} cateto


• 
  c={displaystyle c=} hipotenusa
  


• 
  r={displaystyle r=} raio da circunferência inscrita


• 
  d={displaystyle d=} diâmetro da circunferência inscrita

{a=x+r⇒x=a−r(I)b=y+r⇒y=b−r(II)c=x+y(III){displaystyle left{{begin{matrix}a=x+rRightarrow x=a-r,left(Iright)\b=y+rRightarrow y=b-r,left(IIright)\c=x+y,left(IIIright)end{matrix}}right.}

Substituindo I e II em III, teremos

c=a−r+b−r⇒c=a+b−2r⇒c+2r=a+b{displaystyle c=a-r+b-rRightarrow c=a+b-2rRightarrow c+2r=a+b}

Como:

d=2r⇒c+d=a+b{displaystyle d=2rRightarrow c+d=a+b}

Ver também |

• Triângulo


• Teorema de Pitágoras


• Trigonometria

Ligações externas |

O wikilivro Matemática elementar tem uma página sobre Triângulo retângulo

• Matemática Essencial: Trigonometria do Triângulo Retângulo


• Calculando a área do triângulo retângulo