Cosseno hiperbólico
O Co-seno hiperbólico é uma função hiperbólica, assim chamadas pois a parametrização de curvas em cosh e senh originam hipérboles, enquanto que as funções trigonométricas dão origem a circunferências.
- cosh(bt)=ebt+e−bt2{displaystyle cosh(bt)={e^{bt}+e^{-bt} over 2}}
Tal função é obtida a partir da representação da função f(x)=ex{displaystyle f(x)=e^{x}} da seguinte forma:
- ex=ex+e−x2+ex−e−x2{displaystyle e^{x}={frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}+{frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}
em que o primeiro termo é o Co-seno hiperbólico e o segundo termo é o Seno hiperbólico
O gráfico da função é a catenária.
Estendendo-se o conceito de co-seno para o corpo dos números complexos através da Série de Taylor, verificam-se as seguintes equivalências:
- cosh(t)=cos(it){displaystyle cosh(t)=cos(it),}
- cos(t)=cosh(it){displaystyle cos(t)=cosh(it),}
Onde i é a unidade imaginária.
Relações importantes (para t real):
(senh(t)+cosh(t))m=(et)m=emt=senh(mt)+cosh(mt){displaystyle (operatorname {senh} (t)+cosh(t))^{m}=(e^{t})^{m}=e^{mt}=operatorname {senh} (mt)+cosh(mt)}
e2t=(Sinh(t)+Cosh(t)Cosh(t)−Sinh(t)){displaystyle e^{2t}=left({frac {Sinh(t)+Cosh(t)}{Cosh(t)-Sinh(t)}}right)}
e2t=(Sinh(t)+Cosh(t))2{displaystyle e^{2t}=(Sinh(t)+Cosh(t))^{2}}
cosh2(t)−senh2(t)=1{displaystyle cosh ^{2}(t)-operatorname {senh} ^{2}(t)=1}
e−t(Sinh(t)+Cosh(t))=1{displaystyle e^{-t}(Sinh(t)+Cosh(t))=1}
et(Sinh(t)−Cosh(t))=−1{displaystyle e^{t}(Sinh(t)-Cosh(t))=-1}
Demonstração da relação 3:
- cosh2(t)−senh2(t)=(et+e−t2)2−(et−e−t2)2=(e2t+2+e−2t4)−(e2t−2+e−2t4)=44=1{displaystyle cosh ^{2}(t)-operatorname {senh} ^{2}(t)=left({frac {e^{t}+e^{-t}}{2}}right)^{2}-left({frac {e^{t}-e^{-t}}{2}}right)^{2}=left({frac {e^{2t}+2+e^{-2t}}{4}}right)-left({frac {e^{2t}-2+e^{-2t}}{4}}right)={frac {4}{4}}=1}
