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A lei dos cossenos é uma parte da generalização do Teorema de Pitágoras, que pode ser utilizada em situações envolvendo qualquer triângulo, isto é, não necessariamente restritas a triângulos retângulos.^[1] Em um triângulo ABC qualquer, para lados opostos aos ângulos internos A^,B^{displaystyle {widehat {A}},{widehat {B}}} e C^,{displaystyle {widehat {C}},} com medidas respectivamente a,b{displaystyle a,b} e c,{displaystyle c,} valem as relações:^[1]

a2=b2+c2−2b⋅c⋅cosA^{displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bcdot ccdot cos{widehat {A}},!}

b2=a2+c2−2a⋅c⋅cosB^{displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2acdot ccdot cos{widehat {B}},!}

c2=a2+b2−2a⋅b⋅cosC^{displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2acdot bcdot cos{widehat {C}},!}

Demonstração |

A seguir algumas maneiras de demonstrar a lei dos cossenos:

Forma Geométrica |

Considerando a figura, podemos observar 3 triângulos:^[2]

ABC,BCD,BAD{displaystyle ABC,BCD,BAD,!}.

Destes, pode-se extrair as seguintes relações:

b=n+m{displaystyle b=n+m,!}

e

m=c⋅cosA^{displaystyle m=ccdot cos{widehat {A}},!}.

Usando o Teorema de Pitágoras para obter uma relação entre os lados dos triângulos, temos para BCD:^[2]

a2=n2+h2{displaystyle a^{2}=n^{2}+h^{2},!}

e para BAD:

c2=m2+h2{displaystyle c^{2}=m^{2}+h^{2},!}

Substituindo:

n=b−m{displaystyle n=b-m,!}

e

h2=c2−m2{displaystyle h^{2}=c^{2}-m^{2},!}

em

a2=n2+h2{displaystyle a^{2}=n^{2}+h^{2},!}

teremos:

a2=(b−m)2+c2−m2{displaystyle a^{2}=(b-m)^{2}+c^{2}-m^{2},!}

a2=b2−2b⋅m+m2+c2−m2{displaystyle a^{2}=b^{2}-2bcdot m+m^{2}+c^{2}-m^{2},!}

a2=b2+c2−2b⋅m{displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bcdot m,!}

Entretanto, pode-se substituir a relação m=c⋅cosA^{displaystyle m=ccdot cos{widehat {A}},!}, do triângulo BAD{displaystyle BAD,!}, na equação acima. Dessa maneira, encontra-se uma expressão geral da Lei dos cossenos:

a2=b2+c2−2b⋅c⋅cosA^{displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bcdot ccdot cos{widehat {A}},!}

Da mesma forma, pode-se demonstrar as demais relações:

b2=a2+c2−2a⋅c⋅cosB^{displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2acdot ccdot cos{widehat {B}},!}

c2=a2+b2−2a⋅b⋅cosC^{displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2acdot bcdot cos{widehat {C}},!}

Forma Vetorial |

Outro modo de demonstrar é usando geometria analítica com vetores: definimos um vetor a→{displaystyle {vec {a}}} como sendo igual a b→−c→{displaystyle {vec {b}}-{vec {c}}} temos um triângulo formado pela soma a→+c→{displaystyle {vec {a}}+{vec {c}}} e o resultante b→{displaystyle {vec {b}}}. Sabendo que u2=‖u→‖2{displaystyle u^{2}=|{vec {u}}|^{2}} e u→⋅v→=‖u→‖⋅‖v→‖⋅cos(θ){displaystyle {vec {u}}cdot {vec {v}}=|{vec {u}}|cdot |{vec {v}}|cdot cos(theta )} sendo θ{displaystyle theta } o ângulo entre os vetores u→{displaystyle {vec {u}}} e v→{displaystyle {vec {v}}} temos o seguinte desenvolvimento:

Triângulo formado por vetores

a→=b→−c→{displaystyle {vec {a}}={vec {b}}-{vec {c}}}

a→2=‖a→‖2=‖(b→−c→)‖2{displaystyle {vec {a}}^{2}=|{vec {a}}|^{2}=|({vec {b}}-{vec {c}})|^{2}}

‖a→‖2=(b→−c→)⋅(b→−c→){displaystyle |{vec {a}}|^{2}=({vec {b}}-{vec {c}})cdot ({vec {b}}-{vec {c}})}

‖a→‖2=‖b→‖2+‖c→‖2−2b→⋅c→{displaystyle |{vec {a}}|^{2}=|{vec {b}}|^{2}+|{vec {c}}|^{2}-2{vec {b}}cdot {vec {c}}}

A lei dos cossenos, formulada nesta notação, pode ser escrita como:

‖a→‖2=‖b→‖2+‖c→‖2−2‖b→‖‖c→‖cos⁡θ‖b→−c→‖2=‖b→‖2+‖c→‖2−2‖b→‖‖c→‖cos⁡θ2‖b→‖‖c→‖cos⁡θ=‖b→‖2+‖c→‖2−‖b→−c→‖2‖b→‖‖c→‖cos⁡θ=‖b→‖2+‖c→‖2−(‖b→‖2−2b→⋅c→+‖c→‖2)2‖b→‖‖c→‖cos⁡θ=b→⋅c→{displaystyle {begin{aligned}Vert {vec {a}}Vert ^{2}&=Vert {vec {b}}Vert ^{2}+Vert {vec {c}}Vert ^{2}-2Vert {vec {b}}Vert Vert {vec {c}}Vert cos theta \Vert {vec {b}}-{vec {c}}Vert ^{2}&=Vert {vec {b}}Vert ^{2}+Vert {vec {c}}Vert ^{2}-2Vert {vec {b}}Vert Vert {vec {c}}Vert cos theta \2Vert {vec {b}}Vert Vert {vec {c}}Vert cos theta &=Vert {vec {b}}Vert ^{2}+Vert {vec {c}}Vert ^{2}-Vert {vec {b}}-{vec {c}}Vert ^{2}\Vert {vec {b}}Vert Vert {vec {c}}Vert cos theta &={frac {Vert {vec {b}}Vert ^{2}+Vert {vec {c}}Vert ^{2}-(Vert {vec {b}}Vert ^{2}-2{vec {b}}cdot {vec {c}}+Vert {vec {c}}Vert ^{2})}{2}}\Vert {vec {b}}Vert Vert {vec {c}}Vert cos theta &={vec {b}}cdot {vec {c}}\end{aligned}}}

Que é claramente equivalente à fórmula acima derivada da teoria dos vetores.

Já que θ{displaystyle theta } é o ângulo formado entre os vetores b→{displaystyle {vec {b}}} e c→{displaystyle {vec {c}}} e considerando que o ponto da origem de b→{displaystyle {vec {b}}} é o mesmo da origem de c→{displaystyle {vec {c}}}, dizemos que esse ponto é A, pois é oposto ao vetor a→{displaystyle {vec {a}}}, logo formando um ângulo A^{displaystyle {widehat {A}}}.

Forma Matricial |

Lei dos Cossenos

Da figura, podemos deduzir, a partir da definição de cosseno, as seguintes relações:

cos⁡α=mb→m=bcos⁡α{displaystyle cos alpha ={frac {m}{b}}to m=bcos alpha }

cos⁡β=na→n=acos⁡β{displaystyle cos beta ={frac {n}{a}}to n=acos beta }

Somando as duas equações, como m+n=c{displaystyle m+n=c}, obtêm-se a relação:
c=bcos⁡α+acos⁡β{displaystyle c=bcos alpha +acos beta } . Se fossem traçadas as alturas respectivas a cada lado do triângulo, teríam-se:

a=bcos⁡γ+ccos⁡β{displaystyle a=bcos gamma +ccos beta }

b=acos⁡γ+ccos⁡α{displaystyle b=acos gamma +ccos alpha }

c=bcos⁡α+acos⁡β{displaystyle c=bcos alpha +acos beta }

Que consistem em um Sistema Linear, cuja solução pode ser dada pela Regra de Cramer, para tanto, temos:

Matriz dos Coeficientes (M): M=[0cbc0aba0]{displaystyle M={begin{bmatrix}0&c&b\c&0&a\b&a&0end{bmatrix}}}

Matriz não Alterada na Coluna da Varíavel cos⁡α{displaystyle cos alpha } (X): X=[acbb0aca0]{displaystyle X={begin{bmatrix}a&c&b\b&0&a\c&a&0end{bmatrix}}}

Assim, é válida a igualdade cos⁡α=det[X]det[M]{displaystyle cos alpha ={frac {det[X]}{det[M]}}}
e, portanto:

cos⁡α{displaystyle cos alpha } = a(−a2+b2+c2)2abc→a2=b2+c2−2bc⋅cos⁡α{displaystyle {a(-a^{2}+b^{2}+c^{2}) over 2abc}to a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bccdot cos alpha } e, analogamente:

b2=a2+c2−2ac⋅cos⁡β{displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2accdot cos beta }

c2=a2+b2−2ab⋅cos⁡γ{displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2abcdot cos gamma }

Ver também |

• Lei dos senos

Referências

Ligações externas |

• Uma dedução simples da Lei dos Cossenos