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A substituição trigonométrica é uma técnica de integração muito utilizada quando ocorre integrando algébricos. Ela se baseia no fato que identidades trigonométricas muitas vezes possibilitam a substituição de um função algébrica por uma função trigonométrica, que pode ser mais facilmente integrada.

Substituição trigonométrica |

Antes de alguns exemplos, é bom saber quais são as possíveis substituições adequadas. Uma maneira simples de descobrir tais substituições consiste no uso da fórmula fundamental da trigonometria
sen2θ +cos2θ =1{displaystyle sen^{2}theta +cos^{2}theta =1}

É fácil de perceber, que as funções sen2θ{displaystyle sen^{2}theta } e cos2θ{displaystyle cos^{2}theta } podem ser obtidas, passando um delas para o outro lado e subtraindo de 1. Obtendo as seguintes fórmulas:

cos2θ =1−sen2θ{displaystyle cos^{2}theta =1-sen^{2}theta }

sen2θ =1−cos2θ{displaystyle sen^{2}theta =1-cos^{2}theta }

Fórmulas de outras funções trigonométricas como tangente e secante, podem ser obtidas dividindo ambos os lados da equação fundamental da trigonometria por um fator conveniente. Por exemplo, para se obter uma relação envolvendo a tangente e a secante divide-se ambos os lados da equação por cos2θ{displaystyle cos^{2}theta }

sen2θ +cos2θ =1{displaystyle sen^{2}theta +cos^{2}theta =1}

sen2θcos2θ+cos2θcos2θ=1cos2θ{displaystyle {frac {sen^{2}theta }{cos^{2}theta }}+{frac {cos^{2}theta }{cos^{2}theta }}={frac {1}{cos^{2}theta }}}

Resultando em:

tan2θ =sec2θ −1{displaystyle tan^{2}theta =sec^{2}theta -1}

Essas substituições podem ser sumarizadas da seguinte forma:

1−sen2θ =cos2θ{displaystyle 1-sen^{2}theta =cos^{2}theta }

a2−x2{displaystyle {sqrt {a^{2}-x^{2}}}}

1+tan2⁡θ=sec2⁡θ{displaystyle 1+tan ^{2}theta ;=;sec ^{2}theta }

a2+x2{displaystyle {sqrt {a^{2}+x^{2}}}}

sec2⁡θ−1=tan2⁡θ{displaystyle sec ^{2}theta -1;=;tan ^{2}theta }

x2−a2{displaystyle {sqrt {x^{2}-a^{2}}}}

Substituição inversa |

Deve se ter em mente que a substituição trigonométrica não é inteiramente igual a substituição clássica onde uma variável é colocada em função de x (a incógnita original da equação), mas sim o contrario será feito.

u=ϕ (x){displaystyle u=phi (x)}

x=ϕ −1(u){displaystyle x=phi ^{-1}(u)}

dx=[ϕ −1]′(u)du{displaystyle dx=[phi ^{-1}]'(u)du}

∫f(x)dx=∫f(u)[ϕ −1]′(u)du{displaystyle int f(x)dx=int f(u)[phi ^{-1}]'(u)du}

Exemplo |

Considere a integral ∫16−x2dx{displaystyle int {sqrt {16-x^{2}}}dx} usando a substituição x=4senθ{displaystyle x=4sentheta }, obtêm-se dx=4cosθ dθ{displaystyle dx=4costheta dtheta }

∫16(1−sen2θ)4 cosθ dθ{displaystyle int {sqrt {16(1-sen^{2}theta )}}4 costheta dtheta }

16∫ cos2θ dθ{displaystyle 16int cos^{2}theta dtheta }

A integral de cosseno ao quadrado pode ser feito utilizando integração por partes

u=cosθ,dv=cosθ dθ{displaystyle u=costheta ,dv=costheta dtheta }

∫cos2θ dθ=cosθ senθ+∫sen2θ dθ{displaystyle int cos^{2}theta dtheta =costheta sentheta +int sen^{2}theta dtheta }

∫cos2θ dθ=cosθ senθ+∫1 dθ−∫cos2θ dθ{displaystyle int cos^{2}theta dtheta =costheta sentheta +int 1 dtheta -int cos^{2}theta dtheta }

∫cos2θ dθ=cosθ senθ2+θ2{displaystyle int cos^{2}theta dtheta ={frac {costheta sentheta }{2}}+{frac {theta }{2}}}

Voltando a equação original

16∫cos2θ dθ=16(cosθ senθ2+θ2){displaystyle 16int cos^{2}theta dtheta =16left({frac {costheta sentheta }{2}}+{frac {theta }{2}}right)}

Agora deve se voltar a incógnita original, isso pode ser feito transpondo o ângulo θ{displaystyle theta } para um triângulo retângulo. Nesse caso o triângulo teria hipotenusa de valor 4 e cateto oposto a θ{displaystyle theta } igual a x{displaystyle x}, consequentemente o cateto adjacente ao ângulo θ{displaystyle theta } valerá 16−x2{displaystyle {sqrt {16-x^{2}}}}. Estes valores podem ser deduzidos a partir das relações fundamentais da função seno e cosseno. Obtendo assim as seguintes relações:

cosθ=16−x24{displaystyle costheta ={frac {sqrt {16-x^{2}}}{4}}}

senθ=x4{displaystyle sentheta ={frac {x}{4}}}

O ângulo θ{displaystyle theta } pode ser expresso comoarcsenx4{displaystyle arcsen{frac {x}{4}}}
Obtendo assim como resposta final:

x16−x22+8arcsenx4+C{displaystyle {frac {x{sqrt {16-x^{2}}}}{2}}+8{arcsen{frac {x}{4}}}+C}