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Um conjunto munido de uma métrica é um espaço métrico; entre as muitas métricas possíveis encontra-se a métrica de Manhattan.

Em matemática, um espaço métrico é um conjunto onde as distâncias entre quaisquer de seus elementos é definida. Estas distâncias formam a métrica do conjunto. A partir daí, podemos definir propriedades topológicas como conjuntos abertos e fechados, que levam ao estudo de espaços topológicos mais abstratos.

O espaço métrico mais familiar é o espaço euclidiano. Na verdade, a métrica é uma generalização das quatro propriedades conhecidas da distância euclidiana. A métrica euclidiana define a distância entre dois pontos como o comprimento do segmento de reta que os conecta.

Existem outros espaços métricos, por exemplo na geometria elíptica. Mesmo no espaço euclidiano, podemos adotar uma medida diferente de distância, como a métrica de Manhattan.

Definição |

Seja X{displaystyle X} um conjunto qualquer. Uma métrica definida sobre X{displaystyle X} é uma função d:X×X→R{displaystyle d:Xtimes Xto R} que satisfaz as seguintes propriedades:

1. 
   d(x,y)≥0  ∀x,y∈X{displaystyle d(x,y)geq 0 forall x,yin X} e d(x,y)=0⟺x=y{displaystyle d(x,y)=0iff x=y}
   


2. d(x,y)=d(y,x)  ∀x,y∈X{displaystyle d(x,y)=d(y,x) forall x,yin X}


3. 
   d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z)  ∀x,y,z∈X{displaystyle d(x,z)leq d(x,y)+d(y,z) forall x,y,zin X} (essa propriedade é conhecida como (desigualdade triangular)

Então o par (X,d){displaystyle (X,d)} é chamado espaço métrico.

Ignorando o rigor matemático, para qualquer sistema de estradas e terrenos a distância entre duas localidades pode ser definida como o comprimento da rota mais curta que liga esses locais. Para ser uma métrica, não deve haver estradas de mão única. A desigualdade do triângulo expressa o fato de que os desvios não são atalhos. Muitos dos exemplos abaixo podem ser vistos como versões concretas desta ideia geral.

Exemplos de Espaços Métricos |

• O conjunto R{displaystyle mathbb {R} } dos números reais é o exemplo mais importante de espaço métrico com respeito à métrica d(x,y)=|x−y|{displaystyle d(x,y)=|x-y|}
  


• 
  (Rn,d){displaystyle (mathbb {R} ^{n},d)}, onde d((x1,…,xn),(y1,…,yn))=(y1−x1)2+⋯+(yn−xn)2{displaystyle d((x_{1},ldots ,x_{n}),(y_{1},ldots ,y_{n}))={sqrt {(y_{1}-x_{1})^{2}+cdots +(y_{n}-x_{n})^{2}}}}, é o espaço de dimensão n{displaystyle n,} com a distância usual (espaço vetorial euclidiano).


• 
  (Rn,d){displaystyle (mathbb {R} ^{n},d)} , onde d(x,y)=max{|x1−y1|,...,|xn−yn|}{displaystyle d(x,y)=max{|x_{1}-y_{1}|,...,|x_{n}-y_{n}|}} observe que com esse exemplo, olhar para um mesmo conjunto X{displaystyle X} com métricas diferentes. Isso provoca uma mudança na topologia do conjunto.


• 
  (X,d){displaystyle (X,d),}, onde d(x,y)={0,se x=y1,se x≠y{displaystyle d(x,y)=left{{begin{matrix}0,&{mbox{se }}x=y\1,&{mbox{se }}xneq yend{matrix}}right.} é denominado de espaço métrico discreto.


• Qualquer subconjunto A⊂X{displaystyle Asubset X}de um espaço métrico X{displaystyle X} é um espaço métrico, basta considerar a restrição d|A×A→R{displaystyle d|_{Atimes A}to mathbb {R} }
  


• Seja V o conjunto das funções contínuas de domínio [a,b] e contra-domínio real. Então d(f,g)=max|f(x)−g(x)|{displaystyle d(f,g)=max |f(x)-g(x)|,} torna V um espaço métrico (a condição de continuidade é importante para garantir que essa métrica seja definida).

Propriedades |

Um espaço métrico é topologizável, isto é admite uma estrutura natural de espaço topológico. Usando a notação B(x,r){displaystyle B(x,r),} para representar a bola aberta de raio r, B(x,r)={y | d(x,y)<r}{displaystyle B(x,r)={y | d(x,y)<r},}, podem-se escrever várias formas equivalentes de definir esta topologia:

• Um conjunto A é aberto quando ∀x∈A , ∃ϵ>0 , B(x,ϵ)⊂A{displaystyle forall xin A , exists epsilon >0 , B(x,epsilon )subset A,}.


• A topologia gerada pelas bolas abertas.

Note-se, em particular, que as bolas abertas são conjuntos abertos, e essa topologia é Hausdorff.

Referências |

• 
  Lima, Elon Lages (2013). Espaços métricos. Col: Coleção Projeto Euclides 5ª ed. [S.l.]: IMPA. 299 páginas. ISBN 978-85-244-0158-9 
  

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