Conjunto de partes
O conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto dado A{displaystyle A} é chamado de conjunto de partes (ou conjunto potência ) de A{displaystyle A}, denotado por P(A){displaystyle P(A)} ou 2A{displaystyle 2^{A}}.
Índice
1 Exemplo
2 Cardinalidade
3 Teoria dos Conjuntos
4 Ver também
Exemplo |
Diagrama de Hasse das inclusões entre os subconjuntos de S.
Se S é o conjunto de três elementos {x, y, z} a lista completa de subconjuntos de S é:
- { } (o conjunto vazio);
- {x};
- {y};
- {z};
- {x, y};
- {x, z};
- {y, z};
- {x, y, z};
e portanto o conjunto de partes de S é o conjunto de 8 elementos:
P(S) = {{ }, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {x, z}, {y, z}, {x, y, z}}.
Cardinalidade |
O número de elementos do conjunto de partes de S é sempre maior que o número de elementos de S, mesmo no caso de S ter um número infinito de elementos.
Se S tem n elementos, pode-se provar que P(S) tem 2n{displaystyle 2^{n}} elementos. No caso de S ser um conjunto infinito, define-se 2|S|=|P(S)|{displaystyle 2^{|S|}=|P(S)|} (em que |S| representa o número de elementos de S). Por outro lado, sendo ℵ0=|N|{displaystyle aleph _{0}=|mathbb {N} |}, também pode ser provado que 2ℵ0=|R|{displaystyle 2^{aleph _{0}}=|mathbb {R} |}.
A hipótese do continuum especula se existe algum conjunto entre N{displaystyle mathbb {N} } e P(N){displaystyle P(mathbb {N} )}, ou seja, um conjunto com mais elementos que N{displaystyle mathbb {N} } e menos elementos que P(N){displaystyle P(mathbb {N} )}.
Teoria dos Conjuntos |
Na Teoria dos Conjuntos, em particular na sua formulação segundo os axiomas de Zermelo-Fraenkel, existe um axioma cuja finalidade é garantir a existência do conjunto das partes: o axioma da potência.
Ver também |
Wikilivro b:Matemática elementar/Conjuntos, com a demonstração de que P(S) tem 2n elementos
