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 Nota: Para outros significados de PI/Pi, veja PI.

 Nota: Para o estado brasileiro, veja Piauí.

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Parte de uma série sobre:
a constante matemática π{displaystyle {pi }}
Utilização
Área do círculo · Circunferência · Uso em outras fórmulas
Propriedades
Irracionalidade · Transcendência · Menor que 22/7
Valor
Aproximações · Memorização
Pessoas
Arquimedes · Liu Hui · Tsu Ch'ung Chih · Madhava de Sangamagrama · William Jones · John Machin · John Wrench · Ludolph van Ceulen · Ariabata
História
Cronologia · Livro
Na cultura
Legislação · Data
Tópicos relacionados
Quadratura do círculo · Problema de Basileia · Outros tópicos relacionados a π{displaystyle {pi }}
v d e

A letra grega π mínúscula é usada como símbolo do Pi

Uma circunferência de diâmetro 1 tem perímetro π{displaystyle scriptstyle {pi }}

Na matemática, o número π{displaystyle scriptstyle {pi }} é uma proporção numérica definida pela relação entre o perímetro de uma circunferência e seu diâmetro; por outras palavras, se uma circunferência tem perímetro p{displaystyle scriptstyle p} e diâmetro d,{displaystyle scriptstyle d,} então aquele número é igual a p/d.{displaystyle scriptstyle p/d.} É representado pela letra grega π. A letra grega π (lê-se: pi), foi adotada para o número a partir da palavra grega para perímetro, "περίμετρος", provavelmente por William Jones em 1706, e popularizada por Leonhard Euler alguns anos mais tarde. Outros nomes para esta constante são constante circular ou número de Ludolph.

Notação |

Os primeiros a utilizarem a letra grega π{displaystyle scriptstyle {pi }} foram os matemáticos ingleses, mas para designar a circunferência de um círculo. O primeiro a utilizar definição atual^[1] foi William Jones. Entretanto foi só após Leonhard Euler utilizá-la que houve aceitação da notação pela comunidade científica.^[2]

Valor de π{displaystyle pi } |

O valor de π{displaystyle pi } pertence aos números irracionais. Para a maioria dos cálculos simples é comum aproximar π{displaystyle {pi }} por 3,14. Uma boa parte das calculadoras científicas de 8 dígitos aproxima π{displaystyle pi } por 3,1415926. Para calcular rotas de navegações interplanetárias a NASA utiliza π≈3,141592653589793{displaystyle pi approx 3,141592653589793} (com 15 casas decimais) [1]. Para calcular um círculo com 46 bilhões de anos-luz de raio em volta do universo observável seria suficiente uma aproximação de π{displaystyle pi } com apenas 40 casas decimais para garantir precisão de 1 átomo de hidrogênio [2].

Um engenheiro japonês e um estudante americano de Ciência da computação calcularam, usando um computador com doze núcleos físicos, cinco trilhões de dígitos, o equivalente a 6 terabytes de dados.^[3]

Aproximação do número pi até a tricentésima casa decimal: π{displaystyle scriptstyle {pi }} = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 82148 08651 32823 06647 09384 46095 50582 23172 53594 08128 48111 74502 84102 70193 85211 05559 64462 29489 54930 38196 44288 10975 66593 34461 28475 64823 37867 83165 27120 19091 45648 56692 34603 48610 45432 66482 13393 60726 02491 41273

Aproximações para π{displaystyle pi } |

Desde a antiguidade foram encontradas várias aproximações de π{displaystyle pi } para o cálculo da área do círculo.^[4] Entre os egípcios, por exemplo no papiro de Ahmes, o valor atribuído a π{displaystyle pi } seria (43)4,{displaystyle scriptstyle left({frac {4}{3}}right)^{4},} embora também seja encontrado o valor 316.{displaystyle scriptstyle 3{frac {1}{6}}.} ^[5][6] Na Bíblia (1 Reis 7:23) é possível encontrar que os hebreus utilizavam o valor 3 como aproximação de π{displaystyle pi }.^[5][7] Entre os babilônios, era comum o uso do valor 3 para calcular a área do círculo, apesar de o valor 318{displaystyle scriptstyle 3{frac {1}{8}}} já ser conhecido como aproximação.^[4]

Métodos de cálculo |

Existem muitas formas de se obter o valor aproximado de π{displaystyle pi } através de métodos numéricos. Consideramos que π{displaystyle pi } é um número irracional e transcendente, de forma que os métodos de cálculo sempre envolvem aproximações, aproximações sucessivas e/ou séries infinitas de somas, multiplicações e divisões.

Método clássico para o cálculo de π{displaystyle pi } |

Método clássico para o cálculo de π{displaystyle pi }

A primeira tentativa rigorosa de encontrar π{displaystyle pi } deve-se a um dos mais conhecidos matemáticos da Antiguidade, Arquimedes. Pela construção de polígonos inscrito e circunscrito de 96 lados encontrou que pi seria entre um valor entre 223/71 e 22/7, ou seja, estaria aproximadamente entre 3,1408 e 3,1429. Tal método é o chamado método clássico para cálculo de pi.^[8]

Ptolomeu, que viveu em Alexandria aproximadamente no século III d.C., calculou pi tomando por base um polígono de 720 lados inscrito numa circunferência de 60 unidades de raio. Seu valor foi aproximadamente 3,1416. Considerando o que sabemos atualmente, sua aproximação foi bem melhor que a de Arquimedes.

A "busca" pelo valor de π{displaystyle {pi }} chegou até à China, onde Liu Hui, um copiador de livros, conseguiu obter o valor 3,14159 com um polígono de 3.072 lados. Mas só no final do século V que o matemático Tsu Ch'ung Chih chegou a uma aproximação melhor: entre 3,1415926 e 3,1415927.

Nesta mesma época, o matemático hindu Aryabhata deixou registrado em versos num livro a seguinte afirmação: "Some-se 4 a 100, multiplique-se por 8 e some-se 62.000. O resultado é aproximadamente uma circunferência de diâmetro 20.000".

Analisando matematicamente e considerando a equação citada anteriormente de c=π⋅d:{displaystyle c=pi cdot d:}

(4+100)⋅8+62000≈π⋅20000⇒{displaystyle (4+100)cdot 8+62000approx pi cdot 20000Rightarrow }

104⋅8+62000≈π⋅20000⇒{displaystyle 104cdot 8+62000approx pi cdot 20000Rightarrow }

832+62000≈π⋅20000⇒{displaystyle 832+62000approx pi cdot 20000Rightarrow }

62832≈π⋅20000⇒{displaystyle 62832approx pi cdot 20000Rightarrow }

6283220000≈π{displaystyle {62832 over 20000}approx pi }

O valor de π,{displaystyle {pi },} portanto, seria 3,1416. Obviamente, quanto maior o número de casas decimais, melhor a aproximação do valor real de pi. Mas devemos considerar que, na época, isso não era algo fácil de se calcular.

O maior cálculo de casas decimais até o século XV foi 3,1415926535897932 feito pelo matemático árabe Ghiyath al-Kashi. O matemático holandês Ludolph van Ceulen, no final do século XVI, calculou um valor de π{displaystyle {pi }} com 35 casas decimais, começando com um polígono de 15 lados, dobrando o número de lados 37 vezes, e, logo em seguida, aumentando o número de lados. Por curiosidade, a sua esposa mandou gravar no seu túmulo o valor de π{displaystyle {pi }} com as supracitadas 35 casas decimais.

Hoje em dia é relativamente mais fácil, com os computadores modernos que calculam até bilhões de casas decimais para π.{displaystyle {pi }.}

Uma aproximação de π{displaystyle {pi }} que apresenta diferença de aproximadamente 2,7e-7 é a seguinte:

355113≈π{displaystyle {355 over 113}approx pi }

Formulação matemática do método de Arquimedes |

Baseado no método de Arquimedes é possível formular uma representação matemática para o cálculo de pi, eficiente para um polígono de qualquer número de lados.

Considerando um polígono de n lados e raio 1, temos a medida do lado expressa pela lei dos cossenos:

a2=b2+c2−2bccos⁡α{displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bccos alpha }

Temos formado um triângulo isósceles, de base l e lados r=1:

l2=r2+r2−2r2cos⁡α{displaystyle l^{2}=r^{2}+r^{2}-2r^{2}cos alpha }

l2=12+12−2cos⁡α{displaystyle l^{2}=1^{2}+1^{2}-2cos alpha }

l2=2−2cos⁡α{displaystyle l^{2}=2-2cos alpha }

l=2−2cos⁡α{displaystyle l={sqrt {2-2cos alpha }}}

O ângulo do triângulo isósceles no centro do polígono é expresso por 360º dividido pelo número de lados (n), portanto:

l=2−2cos⁡(360n){displaystyle l={sqrt {2-2cos left({frac {360}{n}}right)}}}

Dessa forma, o perímetro do polígono será de:

p=n.2−2cos⁡(360n){displaystyle p=n.{sqrt {2-2cos left({frac {360}{n}}right)}}}

Como π{displaystyle pi } é representado pelo perímetro do polígono dividido pelo seu diâmetro, temos:

π=n.2−2cos⁡(360n)2{displaystyle pi ={frac {n.{sqrt {2-2cos left({frac {360}{n}}right)}}}{2}}}

Aplicando transformações trigonométricas, a fórmula acima pode ser simplificada para:

π=n.sen⁡(180n){displaystyle pi =n.operatorname {sen} left({frac {180}{n}}right)}

Métodos estatísticos |

Outro método interessante para o cálculo de π{displaystyle pi } pode ser realizado através de Monte Carlo utilizando-se a estatística. Nesse método são sorteados aleatoriamente pontos num quadrado compreendido entre as coordenadas O=(0,0){displaystyle O=(0,0)} e B=(1,1).{displaystyle B=(1,1).} Em seguida calcula-se a distância dos pontos sorteados cn=(xn,yn){displaystyle c_{n}=(x_{n},y_{n})} até a origem O = (0, 0). π{displaystyle pi } pode ser aproximado através do número de pontos inscritos na circunferência de raio 1 em relação ao total de pontos sorteados no quadrado de lado 1.

No exemplo ao lado , π≅4⋅386/500=3.088{displaystyle pi cong 4cdot 386/500=3.088}

Outro método que utiliza a estatística de Monte Carlo para o cálculo de π{displaystyle pi } é conhecido como Agulha de Buffon, proposto no século XVIII pelo naturalista francês Georges de Buffon.

Métodos de séries infinitas |

O francês François Viète, estudando o método de Arquimedes, desenvolveu a seguinte série para o cálculo de π{displaystyle pi } em 1593:

22⋅2+22⋅2+2+22⋅⋯=2π{displaystyle {frac {sqrt {2}}{2}}cdot {frac {sqrt {2+{sqrt {2}}}}{2}}cdot {frac {sqrt {2+{sqrt {2+{sqrt {2}}}}}}{2}}cdot dots ={frac {2}{pi }}}

O matemático John Wallis, desenvolveu outra série infinita em 1655:

21⋅23⋅43⋅45⋅65⋅67⋅87⋅89⋅⋯=π2.{displaystyle {frac {2}{1}}cdot {frac {2}{3}}cdot {frac {4}{3}}cdot {frac {4}{5}}cdot {frac {6}{5}}cdot {frac {6}{7}}cdot {frac {8}{7}}cdot {frac {8}{9}}cdot dots ={frac {pi }{2}}.}

Outra série conhecida para o cálculo de π{displaystyle pi } foi desenvolvida por Leibniz em 1682, utilizando-se da série de Taylor para a função arctan(x), tomando-se x=1 e, por conseguinte, arctan(1)=π{displaystyle pi }/4.

∑n=0∞(−1)n2n+1=1−13+15−17+19−⋯=π4.{displaystyle sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{frac {1}{3}}+{frac {1}{5}}-{frac {1}{7}}+{frac {1}{9}}-dots ={frac {pi }{4}}.}

Johann Heinrich Lambert publicou, em 1770, uma série na forma de divisões infinitas:

4π=1+123+225+327+429+5211+62⋯{displaystyle {frac {4}{pi }}=1+{frac {1^{2}}{3+{frac {2^{2}}{5+{frac {3^{2}}{7+{frac {4^{2}}{9+{frac {5^{2}}{11+{frac {6^{2}}{cdots }}}}}}}}}}}}}

Métodos de cálculo numérico |

Um dos estudos dos métodos de cálculo numérico é obter a raiz de uma função. Quando consideramos a função f(x)=sin⁡(x){displaystyle f(x)=sin(x)} sabemos que f(π)=sin⁡(π)=0.{displaystyle f(pi )=sin(pi )=0.} Os principais métodos do calculo numérico para a obtenção da raiz da função f(x){displaystyle f(x)} podem incluir uma busca binária no intervalo [a,b]{displaystyle [a,b]} onde se sabemos que f(3)=sin⁡(3)>0{displaystyle f(3)=sin(3)>0} (a=3){displaystyle (a=3)} e f(4)=sin⁡(4)<0{displaystyle f(4)=sin(4)<0} (b=4){displaystyle (b=4)} então podemos aprimorar o intervalo para:

[a,a+b2],{displaystyle left[a,{{a+b} over 2}right],} se f(a+b2)<0{displaystyle fleft({{a+b} over 2}right)<0} e

[a+b2,b],{displaystyle left[{{a+b} over 2},bright],} se f(a+b2)≥0{displaystyle fleft({{a+b} over 2}right)geq 0}

Partindo-se do intervalo π∈[3,4]{displaystyle pi in [3,4]} esse método permite refiná-lo sucessivamente para os intervalos

1. π∈[3,3.5]{displaystyle pi in [3,3.5]}


2. π∈[3,3.25]{displaystyle pi in [3,3.25]}


3. π∈[3.125,3.25]{displaystyle pi in [3.125,3.25]}


4. π∈[3.125,3.1875]{displaystyle pi in [3.125,3.1875]}

e assim sucessivamente.

Ainda no cálculo numérico, o método de Newton-Raphson, mais eficiente que uma busca binária permite obter aproximações sucessivas para a raiz da função f(x)=sin⁡(x){displaystyle f(x)=sin(x)} utilizando um ponto inicial x0{displaystyle x_{0}} exigindo que conheçamos f′(x)=cos⁡(x).{displaystyle f'(x)=cos(x).}

Tomando-se x0=3{displaystyle x_{0}=3} e considerando-se que por Newton-Rapson

xi+1=xi−f(xi)f′(xi)=xi−sin⁡(xi)cos⁡(xi)=xi−tan⁡(xi),{displaystyle x_{i+1}=x_{i}-{{f(x_{i})} over {f'(x_{i})}}=x_{i}-{{sin(x_{i})} over {cos(x_{i})}}=x_{i}-{tan(x_{i})},}

temos a seguinte série para π{displaystyle pi }

1. x0=3{displaystyle x_{0}=3}


2. x1=3,14254654{displaystyle x_{1}=3,14254654}


3. x2=3,14159265{displaystyle x_{2}=3,14159265}

Um método otimizado de cálculo numérico para o cálculo de π{displaystyle pi } através das raízes de uma função pode ser obtido pela simplificação

xi+1=xi+sin⁡(xi),{displaystyle x_{i+1}=x_{i}+sin(x_{i}),}

pois na proximidade de π,{displaystyle pi ,} cos⁡(xi)≅−1.{displaystyle cos(x_{i})cong -1.} ^[9]

Notemos que nesses algoritmos de cálculo numérico considera-se π{displaystyle pi } como trancendental, uma vez que a função f(x)=sin⁡(x){displaystyle f(x)=sin(x)} não pode ser escrita através de um polinômio finito de coeficientes racionais; a função f(x)=sin⁡(x){displaystyle f(x)=sin(x)} é obtida através da expansão da série de Taylor.

Algoritmo de Gauss-Legendre |

O algoritmo de Gauss-Legendre,^[10] que é um método de cálculo numérico de aproximações sucessivas, foi utilizado por Yasumasa Kanada para obter o recorde mundial no cálculo de casas decimais de pi em 2002.^[11]

Método de cálculo isolado das decimais π{displaystyle {pi }} |

Em 1995, David Harold Bailey, em colaboração com Peter Borwein e Simon Plouffe, descobriu uma fórmula de cálculo de π, uma soma infinita (frequentemente chamada fórmula BBP):

π=∑k=0∞116k(48k+1−28k+4−18k+5−18k+6){displaystyle pi =sum _{k=0}^{infty }{frac {1}{16^{k}}}left({frac {4}{8k+1}}-{frac {2}{8k+4}}-{frac {1}{8k+5}}-{frac {1}{8k+6}}right)}

Essa fórmula permite calcular facilmente a enésima decimal binária ou hexadecimal de π{displaystyle {pi }} sem ter que calcular as decimais precedentes. O sítio de Bailey contém sua derivação e implementação em diversas linguagens de programação. Graças a uma fórmula derivada da fórmula BBP, o 4 000 000 000 000 000° algarismo de π{displaystyle {pi }} em base 2 foi obtido em 2001.

Grandezas que dependem de π{displaystyle pi } |

Várias relações matemáticas dependem do conhecimento da constante π,{displaystyle pi ,} as mais conhecidas a nível didático são:

• 
  Perímetro de uma circunferência: C=2⋅π⋅r{displaystyle C=2cdot pi cdot r}
  


• 
  Área do círculo : A=π⋅r2{displaystyle A=pi cdot r^{2}}
  


• 
  Volume de uma esfera: V=43⋅π⋅r3{displaystyle V={4 over 3}cdot pi cdot r^{3}}
  

Como a superfície da esfera é S=4πr2{displaystyle S=4pi r^{2}}, π{displaystyle pi } também está nas fórmulas gravitacionais e do eletromagnetismo da física (F=14⋅π⋅ϵ0⋅Q⋅qd2{displaystyle F={1 over 4cdot pi cdot epsilon _{0}}cdot {Qcdot q over d^{2}}}).

Irracionalidade e transcendência de π{displaystyle pi } |

Mais informações: Prova da irracionalidade de π, teorema de Lindemann–Weierstrass

O perímetro da circunferência é 3,1416... vezes maior que o diâmetro, sendo a razão perímetro/diâmetro o π{displaystyle pi } (pi)

Johann Heinrich Lambert demonstrou em 1761 que se x{displaystyle scriptstyle x} é racional e diferente de 0,{displaystyle scriptstyle 0,} então nem tan(x),{displaystyle scriptstyle tan(x),} nem ex{displaystyle scriptstyle e^{x}} podem ser racionais . Como tan⁡(π4)=1,{displaystyle scriptstyle tan left({frac {pi }{4}}right)=1,} segue-se que π4{displaystyle scriptstyle {frac {pi }{4}}} é irracional, e portanto que π{displaystyle scriptstyle pi } é irracional.^[12][13]

Lindemann provou em 1882 que π{displaystyle pi } é transcendente utilizando o método utilizado por Hermite para provar que e é transcendente. Isto significa que π{displaystyle pi } não pode ser a solução de nenhuma equação algébrica de coeficientes racionais. A transcendência de π{displaystyle {pi }} estabelece a impossibilidade de se resolver o problema da quadratura do círculo: é impossível construir, somente com régua e um compasso euclideanos, um quadrado cuja área seja rigorosamente igual à área de um determinado círculo.

Questões sem resposta |

A questão em aberto mais importante é a de saber se π{displaystyle {pi }} é um número normal, isto é, se qualquer sucessão de algarismos aparece nas decimais de π,{displaystyle {pi },} como seria de se esperar em uma sequência infinita e completamente aleatória de algarismos. Isso deveria ser verdadeiro em qualquer base, e não somente na base 10.

Também não se sabe que algarismos aparecem um número infinito de vezes na constituição de π.{displaystyle {pi }.}

Bailey e Crandall demonstraram em 2000 que a existência da fórmula Bailey-Borwein-Plouffe mencionada acima e de fórmulas similares implicam a normalidade de π{displaystyle {pi }} em base 2.

Cronologia do cálculo de π{displaystyle pi } |

Ver também |

A Wikipédia possui o: Portal da Matemática

O Commons possui uma categoria contendo imagens e outros ficheiros sobre Pi

• 
  Agulha de Buffon;


• 
  Constante de Euler-Mascheroni;


• 
  Dia do Pi;


• 
  Pifilologia;


• 
  Prova da irracionalidade de π;


• 
  Prova de que 22/7 é maior que π;


• 
  Zhang Heng.

Notas

Bibliografia |

• 
  BOYER, C. B. (1996). História da Matemática. Editora Edgard Blücher. [S.l.: s.n.] ISBN 85-212-0023-4 
  


• 
  CAJORI, F. (2007). Uma História da Matemática. Editora Ciência Moderna. [S.l.: s.n.] ISBN 978-85-7393-555-4 
  


• 
  EVES, H. (2004). Introdução à História da Matemática. Editora Unicamp. [S.l.: s.n.] ISBN 85-268-0657-2 
  

Ligações externas |

• Curiosidades da Matemática - Evolução cronológica do cálculo de pi


• 
  pi to 10,000 digits - The University of Utah (em inglês)


• Pi, o mais notável símbolo matemático.

• Portal da matemática