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Em matemática, o conceito de limite é usado para descrever o comportamento de uma função à medida que o seu argumento se aproxima de um determinado valor, assim como o comportamento de uma sequência de números reais, à medida que o índice (da sequência) vai crescendo, i.e. tende para infinito. Os limites são usados no cálculo diferencial e em outros ramos da análise matemática para definir derivadas e a continuidade de funções.

Limite de uma sequência |

Ver artigo principal: Limite de uma sequência

Seja x1,x2,…{displaystyle x_{1},x_{2},ldots } uma sequência de números reais. A expressão:

limxi=L{displaystyle lim x_{i}=L}

i{textstyle i}

xi{textstyle x_{i}}

L.{textstyle L.}

L.{textstyle L.}

A forma usual de escrever isso, em termos matemáticos, pode ser interpretada como um desafio. O desafiante propõe quão perto de L{textstyle L} os termos da sequência devem chegar, e o desafiado deve mostrar que, a partir de um certo índice i{textstyle i}, os demais termos da sequência estão tão ou mais perto de L{textstyle L} quanto solicitado.

Ou seja, qualquer que seja o intervalo em torno de L{textstyle L} (dado pelo desafiante), por exemplo, o intervalo aberto (L−ϵ,L+ϵ){textstyle (L-epsilon ,L+epsilon )} com ϵ>0{textstyle epsilon >0}, o desafiado deve exibir um número natural N{displaystyle N} tal que ∀i{textstyle forall i} com i>N{textstyle i>N} tem-se que xi∈(L−ϵ,L+ϵ){textstyle x_{i}in (L-epsilon ,L+epsilon )}.

Formalmente, o que foi dito acima se expressa assim^[1]:

∀ϵ>0, ∃N∈N;∀i∈N∧ i≥N⇒|xi−L|<ϵ.{displaystyle forall epsilon >0,~exists Nin mathbb {N} ;forall iin mathbb {N} land ~igeq NRightarrow |x_{i}-L|<epsilon .}

Limite de uma função |

Ver artigo principal: Limite de uma função

Suponhamos que f(x){textstyle f(x)} é uma função real e que c{textstyle c} é um número real. A expressão:

limx→cf(x)=L{displaystyle lim _{xto c}f(x)=L}

f(x){textstyle f(x)}

L{textstyle L}

x{textstyle x}

c{textstyle c}

f(x){textstyle f(x)}

x{textstyle x}

c{textstyle c}

L{textstyle L}

Note-se que esta definição não exige (ou implica) que f(c)=L{textstyle f(c)=L}, nem sequer que f(x){textstyle f(x)} esteja definida em c{textstyle c}. Agora, no caso de f(c){textstyle f(c)} existir (estar definido) e

limx→cf(x)=f(c){displaystyle lim _{xto c}f(x)=f(c)}

f(x){textstyle f(x)}

c{textstyle c}

Exemplos |

Consideremos

f(x)=xx2+1{displaystyle f(x)={frac {x}{x^{2}+1}}}

x{textstyle x}

2{textstyle 2}

limx→2f(x)=limx→2xx2+1.{displaystyle lim _{xto 2}f(x)=lim _{xto 2}{frac {x}{x^{2}+1}}.}

f(x){textstyle f(x)}

2{textstyle 2}

0,4,{textstyle 0,!4,}

f(1.9)	f(1.99)	f(1.999)	f(2)	f(2.001)	f(2.01)	f(2.1)
0.4121	0.4012	0.4001	→{displaystyle rightarrow } 0.4 ←{displaystyle leftarrow }	0.3998	0.3988	0.3882

À medida que x{textstyle x} aproxima-se de 2{textstyle 2}, f(x){textstyle f(x)} aproxima-se de 0,4{textstyle 0,!4} e consequentemente temos

limx→2f(x)=0,4.{displaystyle lim _{xto 2}f(x)=0,!4.}

f(x){textstyle f(x)}

2{textstyle 2}

Vejamos, agora, o seguinte exemplo de uma função não contínua (descontínua):

g(x)={xx2+1,se x≠20,se x=2.{displaystyle g(x)=left{{begin{matrix}{frac {x}{x^{2}+1}},&{mbox{se }}xneq 2\\0,&{mbox{se }}x=2.end{matrix}}right.}

g(x){textstyle g(x)}

x{textstyle x}

2{textstyle 2}

0,4{textstyle 0,!4}

g(2)=0≠limx→2g(x){displaystyle g(2)=0neq lim _{xto 2}g(x)}

g(x){textstyle g(x)}

x=2{textstyle x=2}

Consideremos, agora, mais o seguinte exemplo de uma função descontínua:

h(x)=x−1x−1{displaystyle h(x)={frac {x-1}{{sqrt {x}}-1}}}

h(x){textstyle h(x)}

x=1{textstyle x=1}

limx→1h(x)=2.{displaystyle lim _{xto 1}h(x)=2.}

h(0.9)	h(0.99)	h(0.999)	h(1.0)	h(1.001)	h(1.01)	h(1.1)
1.95	1.99	1.999	→{displaystyle rightarrow } não está definido ←{displaystyle leftarrow }	2.001	2.010	2.10

Observa-se que x{textstyle x} pode ser tomado tão próximo de 1{textstyle 1} quanto quisermos, sem no entanto ser igual a1{textstyle 1}, donde infere-se que o limite de f(x){textstyle f(x)} é 2{textstyle 2}.^[3]

Definição formal |

A definição ε-δ de limite.

Sejam I⊂R{displaystyle Isubset mathbb {R} } um intervalo de números reais, a∈I{displaystyle ain I} e f:I−{a}→R{displaystyle f:I-{a}to mathbb {R} } uma função real definida em I−{a}.{displaystyle I-{a}.} Escrevemos

A=limx→af(x){displaystyle A=lim _{xto a}f(x)}

ε>0{displaystyle varepsilon >0}

δ>0{displaystyle delta >0}

x∈I,{displaystyle xin I,}

0<|x−a|<δ,{displaystyle 0<|x-a|<delta ,}

|f(x)−A|<ε{displaystyle |f(x)-A|<varepsilon }

A=limx→af(x)⇔∀ε>0,∃δ>0,∀x∈I;0<|x−a|<δ⇒|f(x)−A|<ε.{displaystyle A=lim _{xto a}f(x)Leftrightarrow forall varepsilon >0,exists delta >0,forall xin I;0<|x-a|<delta Rightarrow |f(x)-A|<varepsilon .}

Exemplos de provas de limites |

Exemplo 1 |

limx→2(3x+1)=7{displaystyle lim _{xrightarrow 2}(3x+1)=7} |

Supondo um ϵ>0{displaystyle epsilon >0}

|(3x+1)−7|<ϵ{displaystyle |(3x+1)-7|<epsilon }

|3x−6|<ϵ{displaystyle |3x-6|<epsilon }

Dividindo por 3 em ambos os lados:

|x−2|<ϵ3{displaystyle |x-2|<{frac {epsilon }{3}}}

O que prova o limite com δ=ϵ3>0{displaystyle delta ={frac {epsilon }{3}}>0}

Exemplo 2 |

limx→1(1+x)=2{displaystyle lim _{xrightarrow 1}(1+x)=2}

Supondo um ϵ>0{displaystyle epsilon >0}

|1+x−2|>ϵ{displaystyle |1+x-2|>epsilon }

|x−1|>ϵ{displaystyle |x-1|>epsilon }

E isso completa a prova com δ=ϵ>0{displaystyle delta =epsilon >0}

Aproximação intuitiva |

A noção de limite é fundamental no início do estudo de cálculo diferencial. O conceito de limite pode ser aprendido de forma intuitiva, pelo menos parcialmente.

Quando falamos do processo limite, falamos de uma incógnita que "tende" a ser um determinado número, ou seja, no limite, esta incógnita nunca vai ser o número, mas vai se aproximar muito, de tal maneira que não se consiga estabelecer uma distância que vai separar o número da incógnita. Em poucas palavras, um limite é um número para o qual y = f(x) difere arbitrariamente muito pouco quando o valor de x difere de x₀ arbitrariamente muito pouco também.

Por exemplo, imaginemos a função: f(x)=2x+1{displaystyle f(x)=2x+1} e imaginando f:R→R{displaystyle f:mathbb {R} to mathbb {R} } (Definida nos reais). Sabemos, lógico, que esta função nos dá o gráfico de uma reta, que não passa pela origem, pois se substituirmos:
f(0)=2.0+1{displaystyle f(0)=2.0+1} que nos dá: f(0)=0+1=1,{displaystyle f(0)=0+1=1,} ou seja, no ponto onde x=0 (origem), o y (f(x)) é diferente de zero. Mas usando valores que se aproximem de 1, por exemplo:

• Se x=0,98 então: y=f(x)=2,96


• Se x=0,998 então: y=f(x)=2,996


• Se x=0,9998 então: y=f(x)=2,9996


• Se x=0,99999 então: y=f(x)=2,99998

Ou seja, à medida que x "tende" a ser 1, o y "tende" a ser 3. Então no processo limite, quando tende a ser um número, esta variável aproxima-se tanto do número, de tal forma que podemos escrever como no seguinte exemplo:

Exemplo 1.1: Sendo uma função f definida por: f(x)=2x+1{displaystyle f(x)=2x+1} nos reais, calcular o limite da função f{displaystyle f} quando x→1.{displaystyle xto 1.}
Temos então, neste caso, a função descrita no enunciado e queremos saber o limite desta função quando o "x" tende a ser 1:
Ou seja, para a resolução fazemos:

Então, no limite é como se pudéssemos substituir o valor de x para resolvermos o problema. Na verdade, não estamos substituindo o valor, porque para o cálculo não importa o que acontece no ponto x, mas sim o que acontece em torno deste ponto. Por isso, quando falamos que um número "tende" a ser n, por exemplo, o número nunca vai ser n, mas se aproxima muito do número n. Enfim, como foi dito anteriormente, a definição de limite é tão e somente intuitiva. Vai de analisar a função que está ocorrendo apenas. Agora, o exercício do Exemplo 1.1 mostra que x se aproxima de 1 pela esquerda, ou seja:

Porém, temos também uma outra forma de se aproximar do número 3, na função f(x){displaystyle f(x)} descrita nos exemplo acima, por exemplo:
Se x=2, y=f(x)=5 ; Se x=1,8 então: y=f(x)=4,6 ; Se x=1,2 temos que: y=f(x)=3,4 ; Se x=1,111 então: y=f(x)=3,222
Podemos perceber então, que x está tendendo a 1 pela direita agora, e não mais pela esquerda como foi mostrado no exemplo anterior. Então para resolvermos problemas que envolvem cálculo, devemos saber como a função que está em jogo se comporta.

Limites em funções de duas ou mais variáveis |

A noção de limite, conquanto seja a mesma para todos os tipos de funções numéricas, nem sempre é fácil de se calcular. Muitas vezes é mesmo difícil de se afirmar que o limite exista ou não. A função distância entre os objectos da função, na definição formal anteriormente apresentada para uma variável, dada por |x−a|,{displaystyle |x-a|,} não pode ser utilizada. Neste contexto, surge a necessidade de uma função distância. Nesse caso, a definição de limite é a seguinte^[4]:

Seja f{displaystyle f} uma função do tipo:

D⊆Rn→R{displaystyle Dsubseteq mathbb {R} ^{n}rightarrow mathbb {R} }

x⟼f(x)=z{displaystyle xlongmapsto f(x)=z}

Em que x{displaystyle x} é um vector com n{displaystyle n} coordenadas e z{displaystyle z} um número real. Se a{displaystyle a} for um vector com n{displaystyle n} coordenadas, então:

limx→af(x)=L⇔∀ϵ>0,∃δ>0:(x∈D∧0<d(x,a)<δ)⟹|f(x)−L|<ϵ{displaystyle lim _{xto a}f(x)=LLeftrightarrow forall epsilon >0,exists delta >0:left(xin D;wedge 0<d(x,a)<delta right)Longrightarrow |f(x)-L|<epsilon }

Em que d(x,a)=‖x−a‖{displaystyle d(x,a)=|x-a|} é a função distância.

Exemplo |

Uma função do tipo:

R2→R{displaystyle mathbb {R} ^{2}rightarrow mathbb {R} }

(x,y)⟼f(x,y)=z{displaystyle (x,y)longmapsto f(x,y)=z}

pode ter evidentemente um limite, mas aqui há uma diferença fundamental.

Sobre a reta real, só existe verdadeiramente um grau de liberdade, ou seja, só se pode ir para a direita (no sentido de maiores números reais) ou para a esquerda (no sentido de menores números reais).

Com uma função de duas variáveis (só para ficar no caso mais simples) tem-se dois graus de liberdade. Consequentemente, pode-se ter infinitos caminhos entre dois pontos, o que na verdade influencia o valor do limite.

Ora, para que exista um valor de limite, é necessário que ele seja independente do caminho tomado para que o(s) valor(es) da(s) variável(eis) independentes sejam alcançados. Isso é verdade no caso unidimensional, quando os dois limites laterais coincidem. Caso contrário, o limite não existe.

De forma semelhante, quando se tem uma função bidimensional como:

R2→R{displaystyle mathbb {R} ^{2}rightarrow mathbb {R} }

(x,y)⟼f(x,y)=xy{displaystyle (x,y)longmapsto f(x,y)=xy}

o limite pode ser testado através de vários caminhos.

Suponha que se queira verificar o seguinte limite L desta função:

lim(x,y)→(0,0)f(x,y)=L{displaystyle lim _{(x,y)to (0,0)}f(x,y)=L}

Pode-se aproximar-se do valor (0,0) através das seguintes possibilidades (de entre uma infinidade delas):

• o limite através do eixo dos yy,{displaystyle yy,} ou seja,

limx→0f(x,0)=L{displaystyle lim _{xto 0}f(x,0)=L}

Nesse caso o limite L é zero.

• o limite através do eixo dos xx,{displaystyle xx,} ou seja,

limy→0f(0,y)=L{displaystyle lim _{yto 0}f(0,y)=L}

Nesse caso, o limite L é também zero.

Poder-se-ia ficar enumerando todas as possibilidades, mas seria ocioso. No caso dessa função, o limite nesse ponto é sempre zero, conforme demonstraremos.

Vamos, então, provar que

lim(x,y)→(0,0)xy=0{displaystyle lim _{(x,y)to (0,0)}xy=0}

Ou seja, provar que

∀ϵ>0,∃δ>0:((x,y)∈R2∧0<‖(x,y)−(0,0)‖<δ)⟹|xy−0|<ϵ{displaystyle forall epsilon >0,exists delta >0:left((x,y)in mathbb {R} ^{2};wedge 0<|(x,y)-(0,0)|<delta right)Longrightarrow |xy-0|<epsilon }

⇔∀ϵ>0,∃δ>0:((x,y)∈R2∧0<x2+y2<δ)⟹|xy|<ϵ{displaystyle Leftrightarrow forall epsilon >0,exists delta >0:left((x,y)in mathbb {R} ^{2};wedge 0<{sqrt {x^{2}+y^{2}}}<delta right)Longrightarrow |xy|<epsilon }

Vamos procurar escrever δ{displaystyle delta } em função de ϵ.{displaystyle epsilon .}

x2+y2<δ⇔x2+y2<δ2{displaystyle {sqrt {x^{2}+y^{2}}}<delta Leftrightarrow x^{2}+y^{2}<delta ^{2}}

|xy|≤max{|x|,|y|}2≤x2+y2<δ2{displaystyle |xy|leq max{|x|,|y|}^{2}leq x^{2}+y^{2}<delta ^{2}}

Se escolhermos δ=ϵ,{displaystyle delta ={sqrt {epsilon }},} então, pela segunda desigualdade, |xy|<δ2=ϵ,{displaystyle |xy|<delta ^{2}=epsilon ,} o que prova o nosso limite.

Um exemplo de uma função que não apresenta valor de limite em (0,0) é a função:

R2→R{displaystyle mathbb {R} ^{2}rightarrow mathbb {R} }

(x,y)⟼f(x,y)=xy(x2+y2){displaystyle (x,y)longmapsto f(x,y)={xy over (x^{2}+y^{2})}}

que pode ser provado fazendo-se a aproximação do ponto (0,0) através das parametrizações dadas pelas equações paramétricas:

x=(cos⁡α)t{displaystyle x=left(cos alpha right)t}

y=(senα)t{displaystyle y=left(mathrm {sen} ,alpha right)t}

a função toma a forma

f(x,y)=cos⁡(α)sen(α)(cos⁡α)2+(senα)2=sen(2α)2{displaystyle f(x,y)={cos(alpha )mathrm {sen} ,(alpha ) over (cos alpha )^{2}+(mathrm {sen} ,alpha )^{2}}={mathrm {sen} ,(2alpha ) over 2}}

Vê-se, então, que o valor do limite depende do ângulo α pelo qual a reta de parametrização permite que se aproxime do ponto (0,0). Dessa forma, o limite não existe nesse ponto para essa função.

Referências

Ver também |

O wikilivro Cálculo (Volume 1) tem uma página intitulada Limites e Continuidade

A Wikipédia possui o: Portal da Matemática

• Limite de uma função


• Lista de limites


• Função contínua

v • e Funções
Tipos	Analítica • Bijetora • Convexa • Divisor • Elementar • Exponencial • Fatorial • Identidade • Inclusão • Inteira • Inversa • Iterada • Limitada • Integral de Tchebychev • Logaritmo • Logaritmo natural • Monótona • Parcial • Polinomial • Retangular • Simples • Sinal • Sobrejetora • Suave
Trigonométricas	Seno • Cosseno • Tangente • Cotangente • Secante • Cossecante
Hiperbólicas	Seno hiperbólico • Cosseno hiperbólico • Tangente hiperbólica • Cotangente hiperbólica • Secante hiperbólica • Cossecante hiperbólica
Famosas	Ackermann • Bessel • Dirichlet • Gama • Heaviside • Mertens • Möbius • Weierstrass
Conceitos	Assimptota/Assíntota • Curva • Derivada • Espaço funcional • Espaço Lp • Gráficos • Integral • Limite • Injectividade • Parte inteira • Primitiva • Projeção • Reta
Funções em economia	Demanda • Oferta • Utilidade