Grupo de Lie
Um grupo de Lie (e/ou "Conjunto de Lie"), que é simbolizado matematicamente pelo "L e/ou S"(de Sterling), é uma variedade diferenciável que admite uma estrutura de grupo onde as operações multiplicação e inversão são deriváveis. Este conceito foi introduzido em 1870 por Sophus Lie ao estudar certas propriedades das equações diferenciais, nesse conjunto figuram diversas funções de grau superior a unidade, hiperbólicas, senoides, e outras funções em diversos graus, que possibilitam ao cálculo da derivada. Inclusive com estudos das funções de grau inferior a unidade, que foram expostas nos seus trabalhos, intitulado na época de "Princípios e Processos para as Diferenciações". Tal livro(tese), foi editado em diversos idiomas a partir de 1870, em diversas edições. Inclusive atualizadas pelo autor a medida que aprofundava seus estudos.
Exemplos |
Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} - o espaço euclidiano real de dimensão n, visto como um grupo aditivo
GLn(R){displaystyle GL_{n}(mathbb {R} )} - o grupo linear real de ordem n, com a operação de multiplicação de matrizes
H∗{displaystyle mathbb {H} ^{*}} - o grupo multiplicativo dos quaterniões não nulos- Seja n≥1{displaystyle ngeq 1}. O grupo GL(n,k){displaystyle GL(n,k)} (onde k=R{displaystyle k=mathbb {R} } ou C{displaystyle mathbb {C} }) das matrizes inversíveis n{displaystyle n} por n{displaystyle n} é um grupo de Lie, visto que a operação multiplicação de matrizes é contínua, já que se A{displaystyle A} e B{displaystyle B} são matrizes, então as entradas de AB{displaystyle AB} são somas de produtos de entradas de A{displaystyle A} e B{displaystyle B}.
É possível mostrar que todo subgrupo fechado de GL(n,k){displaystyle GL(n,k)} também é grupo de Lie. Disto segue que U(n),SU(n),O(n){displaystyle U(n),SU(n),O(n)} e SO(n){displaystyle SO(n)} são grupos de Lie para todo n≥1{displaystyle ngeq 1}. Em geral, os subgrupos fechados de GL(n,k){displaystyle GL(n,k)} são chamados de grupos de Lie clássicos.
Álgebra de Lie |
Se G{displaystyle G} for uma variedade diferenciável de dimensão finita, existe uma construção que torna o espaço tangente à identidade de G{displaystyle G} uma álgebra, e esta é a chamada álgebra de Lie associada a G{displaystyle G}.
Em termos da teoria de categorias, o functor que associa a cada grupo de Lie a sua álgebra de Lie é uma transformação natural.
É possível mostrar que álgebra de Lie de um grupo de Lie G{displaystyle G} é isomorfa à álgebra dos campos vetoriais sobre G{displaystyle G} que são invariantes por translação.
É sabido que para cada n≥1{displaystyle ngeq 1}, a álgebra de Lie associada ao grupo das matrizes n{displaystyle n} por n{displaystyle n} unitárias é a álgebra das matrizes n{displaystyle n} por n{displaystyle n} auto-adjuntas. Uma generalização deste fato para espaços de operadores limitados sobre espaços de Hilbert é de grande importância para a formulação matemática da Mecânica Quântica, e neste contexto, tal resultado é chamado de teorema de Stone.
