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O centro de massas é o único ponto do satélite que segue a trajetória indicada.

Em física, o centro de massas é o ponto hipotético onde toda a massa de um sistema físico está concentrada e que se move como se todas as forças externas estivessem sendo aplicadas nesse ponto.

Se o sistema for constituído por um corpo, o centro de massas pode ser considerado como o ponto onde aplicada uma força o corpo se move sem rotacionar, com torque resultante zero. Se o sistema for constituído por mais de um corpo, o centro de massas será o ponto em que, se unir os corpos em suas respectivas posições por um elemento que os integre (tal como um segmento rígido), pode ser suspendido mantendo todos os corpos a uma mesma altura.

O uso do centro de massas na mecânica clássica é atribuído à simplificação de movimentos compostos realizados por corpos rígidos – aqueles em que a posição relativa das partículas que o compõem não muda ao longo do tempo - transformando-os em movimentos simples, onde é possível que haja aplicação das Leis de Newton como uma partícula. Quando um objeto de formato irregular é lançado ao ar, por exemplo, há diferentes movimentos em todas as partículas que o constituem, entretanto, há um ponto em que segue o movimento de tal objeto como se fosse uma partícula, esse ponto é o centro de massas.^[1]

O centro de massas também pode ser chamado de centro de gravidade quando um corpo estiver sob a influência de um campo gravitacional uniforme, ou seja, aquele em que a força gravitacional é igualmente exercida em todos os pontos do objeto. Ainda, se um objeto tiver forma regular e densidade homogênea, o centro de massas coincidirá com o centroide, ou seja, o centro geométrico do objeto.

História |

Considerando que os corpos possuem mesma massa e estão à mesma distância do fulcro da alavanca, nas duas situações o centro de massas se localizará sobre o ponto de apoio, mesmo com os corpos ocupando posições diferentes nesses casos.

Inicialmente, o conceito de centro de massas foi apresentado na forma de centro de gravidade na Grécia Antiga por Arquimedes de Siracusa, engenheiro, físico e matemático. Isso se deve por que o centro de massas em um objeto é o mesmo que o centro de gravidade se o campo gravitacional for uniforme. Trabalhando em campo gravitacional uniforme, ele demonstrou que o torque exercido em uma alavanca sempre seria o mesmo se, mudando as posições dos objetos, o centro de massas permanecesse fixo.

Já em seu trabalho com corpos flutuantes, Arquimedes descobriu que a posição e orientação de um objeto na superfície de um fluido é aquela onde o centro de massa tende a ficar na posição mais baixa possível. Além dessas descobertas, ele desenvolveu técnicas matemáticas para definir o centro de massa de diversos objetos de densidade uniforme.^{[2][nota 1]}

Localização do centro de massas |

A intersecção das linhas de prumo no objeto é o Centro de Massa do mesmo.

Antes de se iniciar o processo, é necessário compreender que o centro de massas será o mesmo que o centro de gravidade se o campo gravitacional for uniforme. O experimento só terá efeito nesse caso. O centro de massas de um corpo de densidade uniforme estará localizado em seu eixo de simetria.

Para encontrar o centro de massas de um objeto plano – como uma placa metálica ou um quadro – deve-se pendurá-lo em dois pontos diferentes, sendo que, em cada etapa, deve-se traçar uma linha reta vertical do ponto de suspensão até a base do objeto. Dessa forma, as duas linhas traçadas se encontrarão em um ponto comum, sendo esse o centro de massas do objeto.^[3]

Para um objeto com um formato complexo – aqueles ainda planos, mas sem uma forma geométrica definida conhecida – é possível encontrar o centro de massas subdividindo-o em pequenas partes mais simples, sendo que, se for possível encontrar a massa total e o centro de massas de cada parte, então o centro de massas do objeto será a média de suas partes.^[4]

Esse processo também é válido para objetos ocos, valendo-se considerar o espaço vazio como uma massa negativa – o objeto será de densidade uniforme, então, basta apenas calcular a massa que existiria em determinado volume e considerá-la como negativa^[5].Para objetos de formato irregular, onde os métodos anteriores mostram-se ineficientes para medidas, pode-se ser utilizado um planímetro para realizar os cálculos de área, e então conhecida a densidade do objeto, obter sua massa.^{[6][nota 2]}

Centro de massas de um sistema de partículas |

Possível localização do centro de massa entre duas partículas.

Para definir o centro de massas (CM) de um sistema de partículas deve-se considerar três tipos de variáveis desse sistema: o número de partículas que o compõem, a massa e a posição de cada partícula. Podemos deduzir a equação geral da definição do Centro de Massas a partir de um sistema simples de apenas duas partículas.^[7]

Sistema com duas partículas |

Dadas duas partículas de massa m1{displaystyle m_{1}} e m2{displaystyle m_{2}} separadas por uma distância d{displaystyle d}, estabelece-se arbitrariamente a origem do eixo x como a posição da partícula de massa m1{displaystyle m_{1}}.

A posição do centro de massas (CM) desse sistema de duas partículas pode ser definida como:

Xcm=m2m1+m2⋅d{displaystyle X_{cm}={m_{2} over m_{1}+m_{2}}cdot d}

Se m2=0{displaystyle m_{2}=0}, existe apenas uma partícula m1{displaystyle m_{1}} e o centro de massas deve estar na posição dessa partícula m1{displaystyle m_{1}} uma vez que xcm{displaystyle x_{cm}} será igual a zero.

xcm=0m1+0⋅d⇒xcm=0{displaystyle x_{cm}={0 over m_{1}+0}cdot dRightarrow x_{cm}=0}

Se m1=0{displaystyle m_{1}=0}, o sistema apresenta apenas uma partícula (de massa m2{displaystyle m_{2}}). A posição xcm{displaystyle x_{cm}} desta partícula será igual a d{displaystyle d}.

xcm=m20+m2⋅d⇒xcm=d{displaystyle x_{cm}={m_{2} over 0+m_{2}}cdot dRightarrow x_{cm}=d}

Se m1=m2{displaystyle m_{1}=m_{2}}, o centro de massas se encontra no ponto médio da distância entre as duas partículas.

xcm=m2m2+m2⋅d⇒xcm=12⋅d⇒xcm=d2{displaystyle x_{cm}={m_{2} over m_{2}+m_{2}}cdot dRightarrow x_{cm}={1 over 2}cdot dRightarrow x_{cm}={d over 2}}

Se m1{displaystyle m_{1}} e m2{displaystyle m_{2}} forem diferentes de 0{displaystyle 0}, a posição xcm{displaystyle x_{cm}} do centro de massas assume valores entre 0{displaystyle 0} e d{displaystyle d} e é definida como:

xcm=m1x1+m2x2m1+m2{displaystyle x_{cm}={m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2} over m_{1}+m_{2}}}

Sendo M{displaystyle M} a massa total do sistema, ou seja, M=m1+m2{displaystyle M=m_{1}+m_{2}}_, temos:

xcm=m1x+m2x2M{displaystyle x_{cm}={m_{1}x_{+}m_{2}x_{2} over M}}

Sistema com n partículas |

Considerando um sistema com o número n de partículas, podemos definir de forma geral o Centro de Massa a partir da equação anterior.

Dado um sistema com n partículas posicionadas ao longo de um eixo x, no qual a massa total é dada por M=m1+m2+...+mn{displaystyle M=m_{1}+m_{2}+...+m_{n}} , a posição do centro de massa é definida por:

xcm=m1x+m2x2+m3x3+...+mnxnM{displaystyle x_{cm}={m_{1}x_{+}m_{2}x_{2}+m_{3}x_{3}+...+m_{n}x_{n} over M}}=1M∑i=1nmixi{displaystyle ={frac {1}{M}}sum _{i=1}^{n}m_{i}x_{i}}

Sistema de três dimensões |

Uma vez que determinado sistema de partículas ocupa três dimensões, a definição do centro de massas desse sistema deve ser feita considerando cada dimensão de forma independente.

Dado um sistema de com n partículas distribuídas em três dimensões, a posição do centro de massa é dada por três coordenadas (x, y e z) definidas por:

xcm=1M∑i=1nmixiycm=1M∑i=1nmiyizcm=1M∑i=1nmizi{displaystyle x_{cm}={frac {1}{M}}sum _{i=1}^{n}m_{i}x_{i};;;y_{cm}={frac {1}{M}}sum _{i=1}^{n}m_{i}y_{i};;;z_{cm}={frac {1}{M}}sum _{i=1}^{n}m_{i}z_{i}}

Sistema de três dimensões (equação vetorial) |

Exemplo de localização de uma partícula através dos vetores de posição.

O centro de massa de um sistema de três dimensões também pode ser definido a partir do vetor posição desse sistema. Dada uma partícula de coordenadas xi{displaystyle x_{i}}, yi{displaystyle y_{i}} e zi{displaystyle z_{i}} seu vetor posição é definido por:

r→=xcmi^ycmJ^zcmk^{displaystyle {overrightarrow {r}}=x_{cm}{widehat {i}};;y_{cm}{widehat {J}};;z_{cm}{widehat {k}}}

Em que o índice indica a partícula, e i^{displaystyle {widehat {i}}}, j^{displaystyle {widehat {j}}} e k^{displaystyle {widehat {k}}} são os vetores unitários que apontam, respectivamente, no sentido positivo do eixo x, y e z.

De forma análoga, a posição do centro de massa de um sistema de partículas é definida pelo vetor posição:

r→=1M∑i=1nmir→i{displaystyle {overrightarrow {r}}={frac {1}{M}}sum _{i=1}^{n}m_{i}{overrightarrow {r}}_{i}}

Em que M{displaystyle M} é a massa total do sistema.

Centro de massa de corpos maciços (homogêneos)^[7] |

Para definir o centro de massa de objetos homogêneos divide-se e distribui-se a massa de um objeto de forma contínua, tornando cada partícula do objeto elementos infinitesimais de massa dm{displaystyle dm}. Desta forma as coordenadas do centro de massa são definidas por:

xcm=1M∫xdmycm=1M∫ydmzcm=1M∫zdm{displaystyle x_{cm}={frac {1}{M}}int xdm;;y_{cm}={frac {1}{M}}int ydm;;z_{cm}={frac {1}{M}}int zdm}

Em que M{displaystyle M} é a massa do corpo.

Considerando que objetos homogêneos apresentam massa especifica (massa por unidade de volume) representada pelo símbolo ρ (letra grega rô) e que a mesma apresenta valores iguais para todos os elementos infinitesimais destes objetos define-se:

ρ=dmdV=MV{displaystyle rho ={frac {dm}{dV}}={frac {M}{V}}}

Em que dV{displaystyle dV} é o volume ocupado por um elemento de massa dm{displaystyle dm}, e V{displaystyle V} é o volume total do objeto

xcm=1V∫xdVycm=1V∫ydVzcm=1V∫zdV{displaystyle x_{cm}={frac {1}{V}}int xdV;;y_{cm}={frac {1}{V}}int ydV;;z_{cm}={frac {1}{V}}int zdV}

Segunda Lei de Newton para um sistema de partículas^[7] |

Movimento do centro de massa de um sistema |

Dado um conjunto de n partículas de massas (possivelmente) diferentes, para descrever o movimento do centro de massa desse conjunto (que age como uma partícula cuja massa é igual à massa total do sistema), deve-se atribuir-lhe uma posição, uma velocidade e uma aceleração definidos de acordo com a equação vetorial:

F→res=Ma→cm{displaystyle {overrightarrow {F}}_{res}=M{{overrightarrow {a}}_{cm}}}

F→res{displaystyle {overrightarrow {F}}_{res}} é a força resultante de todas as forças externas que agem sobre o sistema;

M{displaystyle M} é a massa total do sistema;

a→cm{displaystyle {overrightarrow {a}}_{cm}} é a aceleração do centro de massa do sistema.

Componentes de F→res{displaystyle {overrightarrow {F}}_{res}} e a→cm{displaystyle {overrightarrow {a}}_{cm}}em relação à três eixos de coordenadas:

F→res,x=Ma→cm,xF→res,y=Ma→cm,yF→res,z=Ma→cm,z{displaystyle {overrightarrow {F}}_{res,x}=M{{overrightarrow {a}}_{cm,x}};;;{overrightarrow {F}}_{res,y}=M{{overrightarrow {a}}_{cm,y}};;;{overrightarrow {F}}_{res,z}=M{{overrightarrow {a}}_{cm,z}}}

Momento linear de um sistema de partículas |

Momento Linear em um Sistema de Partículas é encontrado usando o centro de massas do sistema.

Dado um sistema com n partículas, onde cada partícula apresenta massa, velocidade e momento linear determinados. O momento linear total é definido como a soma vetorial dos momentos lineares de cada partícula.

P→=p1→+p2→+p3→+...+pn→{displaystyle {overrightarrow {P}}={overrightarrow {p_{1}}}+{overrightarrow {p_{2}}}+{overrightarrow {p_{3}}}+...+{overrightarrow {p_{n}}}}=m1v→1+m2v→2+m3v→3+...+mnv→n{displaystyle =m_{1}{overrightarrow {v}}_{1}+m_{2}{overrightarrow {v}}_{2}+m_{3}{overrightarrow {v}}_{3}+...+m_{n}{overrightarrow {v}}_{n}}

Desta forma temos o momento linear de um sistema de partículas definido por:

P→=Mv→cm{displaystyle {overrightarrow {P}}=M{overrightarrow {v}}_{cm}}

Uso do baricentro |

Existem dois tipos de corpos conhecidos atualmente que servem para estabelecer formas de analisar o centro de massa: os corpos extensos heterogêneos e os corpos extensos homogêneos^[8].

A aplicação em corpos homogêneos é feita analisando regiões simétricas de polígonos regulares^[9] e aplicando definições de figuras geométricas, pois eles são objetos que possuem lados e ângulos iguais, como por exemplo, quadrados e cubos. Segundo essa definição, as análises de corpos heterogêneos só podem ser efetuadas a partir do estudo por Cálculo ou por meio da divisão geométrica dos corpos deformados, usando a geometria.

Centro de massa de um quadrado |

O centro de massa de um quadrado é estabelecido por meio do encontro de suas diagonais – segmentos de retas com extremidades em vértices não consecutivos do polígono^[10] – esse encontro no centroide do objeto é feito por duas retas que se intercruzam no ponto médio, revelando uma simetria em relação aos ângulos e lados do quadrado.^[11]

Sendo assim, para calcular a localização do centro de massas em um quadrado é necessário saber inicialmente o valor de seus lados, que será dividido por dois para descobrir o ponto médio, ou seja, L/2. Após fazer esse procedimento, os valores encontrados para o centro de massa estarão em coordenadas no plano cartesiano, em que, a coordenada do eixo x é a base e o do eixo y é a altura.

Centro de massa em um quadrado que é formado pelo ponto de encontro das diagonais.

Tendo em vista que o centro de massa de um paralelogramo é o ponto de encontro das diagonais que interceptam os vértices da figura geométrica (objeto), o mesmo procedimento é aplicado para todos corpos extensos homogêneos.^[8][12]

Circunferência |

Para analisar o centro de massa de uma circunferência, basta saber o seu próprio centro geométrico, por se tratar de um objeto totalmente esférico e homogêneo. Para tanto, a análise é feita a partir da distância entre o centro e seu contorno, ou seja, seu raio, podendo ser desenhado sob um plano cartesiano, que propiciará uma divisão em coordenadas cartesianas referente ao centro no eixo X e Y e com isso, uma análise sobre a localização geométrica do centro de massa.^[8]

Triângulo |

Outro exemplo de centro de massa em um corpo extenso homogêneo pode ser aplicado aos pontos de encontro das diagonais em triângulos não regulares. Para fazermos esse procedimento, devemos utilizar o Baricentro – considerado como o centro de massa e de gravidade de um triângulo homogêneo^[8].Tendo em vista que um triângulo possui três vértices, há também três medianas que se interceptam em um ponto comum que divide cada mediana em duas partes. Sendo assim, a semirreta que sai de um vértice irá ser o dobro da semirreta que não possui vértice, definimos essa característica como sendo o Baricentro de um Triângulo.^[13]

Achando baricentro de um triângulo.

Exemplo ^[13]:

Os segmentos AMa, BMb, e CMc são medianas, pois a intersecção das três é encontrada em um único ponto, o centro do triângulo, ou seja, o baricentro.

Outro ponto a se considerar é a relação de comprimento entre as medianas, em que, as medidas dos segmentos AG, BG e CG são o dobro dos seus respectivos complementos, ou seja, AG = 2×GMa; BG = 2×GmB; CG = 2×GMc.

Para comprovarmos a afirmação acima, devemos considerar que G (baricentro - ponto de encontro entre as 3 diagonais) é igual ao um ponto X igual a outro ponto Y, sendo que esses pontos são referentes a intersecção entre BMb e AMa, ou seja, X = BMb∩CMc e Y = AMa∩CMc, tal que G = X = Y.

Com isso, pode-se verificar que os três pontos são semelhantes, pois a distância entre um lado ao ponto médio, é a mesma que a do outro lado ao seu respectivo ponto médio.

Provando ^[13]:

∆ABC= AMc é equivalente a BMc e AMb é equivalente a CMb. Logo, o segmento MbMc é paralelo à BC, sendo que MbMc é igual a metade da distância de BC, pois é o ponto médio de dois lados/segmentos do triângulo.

Ou seja: ∆ABC = AMc≡BMc e AMb≡ CMb. → MbMc ∕∕BC e MbMc = BC/2.

O mesmo pode ser feito com X, obtendo os seguintes resultados:

∆XBC = XD≡BD e XE≡CE → DE∕∕BC e DE = BC/2.

O segmento MbMc é paralelo e equivalente a DE, então MbMcDE é um paralelogramo, pois a diagonal que atravessa DX é equivalente a diagonal que atravessa XMb, revelando a propriedade do baricentro, que BX é o dobro de Mb.

→ {DX ≡ XMb → BX = 2×Mb

São feitas as mesmas relações com o lado EX, revelando que:

→ {EX ≡ XMc → CX = 2×Mc

Portanto, para Y = AMa∩CMc são feitas as mesmas associações, concluindo que os segmentos de reta CY AY são iguais ao dobro de YMc e YMa respectivamente.

- CY = 2×YMc

- AY = 2×YMa

Então, como X = Y, denominamos esse ponto como sendo G (baricentro e centro de massa do objeto), que irá voltar nas duas definições iniciais:

- AMa ∩ BMb ∩ CMc = G

- AG = 2×GMa; BG = 2×GMb; CG = 2×GMc.

Curiosidade ^[14]:

Outro modo de expressar a última equação, é repartindo o segmento de reta em três pequenas retas iguais, revelando que:

- AG = 2/3 × AMa ou GMa = 1/3 × AMa.

- BG = 2/3 × BMb ou GMb = 1/3 × BMb.

- CG = 2/3 × CMc ou GMc = 1/3 × CMc.

Baricentro e Centro de Gravidade |

As características existentes na geometria plana ajudam a entender aspectos que se conectam com meios físicos. Sendo assim, a aplicação do baricentro é muito importante para demonstrar como o centro de gravidade age em um campo gravitacional uniforme.

Todos os conhecimentos iniciais que servem de infraestrutura para um estudo mais aprofundado sobre o centro gravitacional foram atribuídos ao matemático e astrônomo grego Arquimedes (287 a.C. - 212 a.C.). Desta forma, ele define que um corpo rígido suspenso por pontos em qualquer lugar com gravidade constante, após ser girado em seu eixo (aplicação de forças), deve-se permanecer na mesma posição de início, ou seja, o corpo permanecerá em equilíbrio em relação à Terra.^[15]

Esse fenômeno é explicado por meio do equilíbrio existente entre a força peso do objeto (produto entre a massa em kg pela gravidade em ms2{displaystyle {m over s^{2}}} ) e a Terra, já que, todos as forças de atração são equilibradas em um único ponto, denominado baricentro. Sendo assim, como a massa da Terra é maior do que a do objeto, a força resultante proporcionará uma atração equivalente com sentido para o centro terrestre. Por conseguinte, centro de gravidade é o ponto que garantem o equilíbrio de todas as forças atrativas.^[7][15]

Notas

Referências |

Ver também |

• Gravidade


• Peso