Teorema de Noether
O teorema de Noether é um resultado da teoria de sistemas dinâmicos. A primeira versão do teorema foi demonstrada em 1918[1] por Emmy Noether.
Ela provou que toda grandeza física conservativa corresponde a um grupo contínuo de simetrias das equações. Simetria aqui é entendida como uma transformação matemática que deixa as equações inalteradas em sua essência, sendo que todas as simetrias possíveis formam um grupo (no sentido matemático do termo). Um grupo contínuo é um grupo de simetrias definidas por um número que pertence ao conjunto dos Reais.
O enunciado do teorema do ponto de vista matemático diz que para cada grupo uniparamétrico de difeomorfismos de um sistema dinâmico Lagrangeano existe uma constante do movimento.[2] Em mais detalhes, em um sistema de equações diferenciais ordinárias nas funções no tempo t{displaystyle t}, x(t),y(t),…{displaystyle x(t),y(t),ldots }, dada uma solução das equações x1(t),y1(t),…{displaystyle x_{1}(t),y_{1}(t),ldots }, e uma operação nesta solução que dependa de um parâmetro real e que seja contínua x1(t)→x2(t),y1(t)→y2(t),…{displaystyle x_{1}(t)rightarrow x_{2}(t),y_{1}(t)rightarrow y_{2}(t),ldots } de tal forma que x2(t),y2(t),…{displaystyle x_{2}(t),y_{2}(t),ldots } é também solução do mesmo sistema, então existe uma constante independente do tempo associada a esta transformação.
Por exemplo, se a equação em questão for a segunda lei de Newton e a transformação for a rotação dos eixos espaciais x{displaystyle x}, y{displaystyle y} ou z{displaystyle z} na direção do eixo de simetria z{displaystyle z} por um ângulo (real) θ{displaystyle theta }, que formam um contínuo, então a grandeza física conservativa associada é o momento angular (na direção do eixo z{displaystyle z}). Outros dois exemplos importantes são: a família de translações numa determinada direção do espaço leva a conservação da quantidade de movimento, e a simetria temporal implica a conservação da energia.
Informalmente, podemos apresentar o teorema de Noether dizendo que: "Para cada família de simetrias corresponde uma lei de conservação".[3]
A versão quântica do teorema está associada a diferentes resultados, como o chamado teorema de Wigner e o teorema de Stone.[4]
Referências
↑ Noether E (1918). «Invariante Variationsprobleme». Nachr. D. König. Gesellsch. D. Wiss. Zu Göttingen, Math-phys. Klasse. 1918: 235–257
↑ V. I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer (1989); I. M. Gelfand, V.S. Fomin, Calculus of Variations, Dover (2000).
↑ «Emmy Noether's revolutionary theorem explained, from kindergarten to PhD». The Perimeter Institute. Consultado em 24 de julho de 2018
↑ M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Academic Press (1981); A. Jaffe, J. Glimm, Quantum Physics: A functional integral point of view, Springer (1984); S. Weinberg, The Quantum Theory of Fields, Cambridge University Press.
