Bdtjtk

Mecânica clássica
Diagramas de movimento orbital de um satélite ao redor da Terra, mostrando a velocidade e aceleração.
Cinemática Deslocamento Velocidade Velocidade escalar Aceleração Aceleração centrípeta Movimento uniforme Movimento uniformemente variado Movimento retilíneo Movimento parabólico Movimento circular Movimento circular uniforme Movimento curvilíneo Movimento harmônico simples Movimento harmônico complexo
Dinâmica Força Inércia Produto de inércia Leis de Newton Primeira Lei de Newton Segunda Lei de Newton Terceira Lei de Newton Equações de movimento Ressonância
História História da física
Trabalho e Mecânica Energia cinética Energia potencial Trabalho Conservação da energia Força conservativa Força de contato Função de Lagrange Potência Retropropulsão Princípio de Hamilton
Sistema de partículas Centro de massa Corpo rígido Momento linear Conservação do momento linear Equilíbrio dinâmico Princípio de d'Alembert Sistema massa-mola
Colisões Impulso Colisão elástica Colisão inelástica
Movimento rotacional Posição angular Deslocamento angular Velocidade angular Aceleração angular Momento de inércia Torque Momento angular
Sistemas Clássicos Sistema dinâmico Sistema linear Sistema não linear Sistema hamiltoniano Sistema caótico
Formulações Mecânica newtoniana Mecânica hamiltoniana Mecânica lagrangiana Mecânica KvN Equação de Udwadia-Kalaba Mecânica de Routhian
Gravitação Lei da gravitação universal Princípio da superposição Constante gravitacional Velocidade de escape Leis de Kepler Princípio da equivalência
Físicos Isaac Newton Leonhard Euler Joseph-Louis Lagrange Pierre-Simon Laplace Galileu Galilei William Rowan Hamilton Johannes Kepler
v d e

 Nota: Para outros significados, veja Torque (desambiguação).

Torque ^{(português brasileiro)} ou binário ^{(português europeu)}, também conhecido como momento de alavanca, momento de força, ou simplesmente momento (evita-se este último termo, pois ele pode se referir a outras gradezas, como momento angular, momento linear e momento de inércia) é uma grandeza vetorial da física associada às forças que produzam rotação em um corpo.^[1]

Inicialmente, o torque é definido a partir da componente perpendicular ao eixo de rotação da força aplicada sobre um objeto, que é efetivamente utilizada para fazê-lo girar em torno de um eixo ou ponto central, conhecido como ponto pivô ou ponto de rotação. A distância do ponto pivô ao ponto onde atua uma força ‘F’ é chamada braço do momento e é denotada por ‘r’. Note que esta distância ‘r’ é também um vetor.^[2]

Em um espaço tridimensional, o vetor torque é definido como o produto vetorial, respectivamente, da posição r{displaystyle mathbf {r} } em que é aplicada a força F{displaystyle mathbf {F} }:^[1]

τ=r×F{displaystyle {boldsymbol {tau }}=mathbf {r} times mathbf {F} ,!}

Introdução |

Definição em módulo |

Decomposição da força F em duas componentes: uma perpendicular ao vetor posição r, F_⊥; e outra paralela a ele. Somente a componente perpendicular da força produz rotação e, por consequência, é a única que produz torque.
Nesta imagem, o vetor torque aponta perpendicularmente ao plano em que ocorre a rotação, no sentido que "sai" da imagem.

A maçaneta de uma porta fica o mais longe possível das dobradiças por uma boa razão. Para abrir uma porta pesada, é tão necessário aplicar uma força de módulo suficientemente grande, quanto é aplicá-la na direção perpendicular à linha que liga a maçaneta às dobradiças. Se a força for aplicada mais perto das dobradiças que a maçaneta, ou com um ângulo diferente de 90º em relação ao plano da porta, será preciso usar uma força maior para abrir a porta que se a força for aplicada à maçaneta, perpendicularmente ao plano da porta.^[2]

Para determinar o modo como F provoca uma rotação do corpo em torno do eixo de rotação, podemos separar a força em duas componentes (figura ao lado). Uma dessas componentes, a componente radial F_||, tem a direção do vetor r. Essa componente não provoca rotações, já que age ao longo de uma reta que passa pelo ponto do qual se origina o vetor posição r. Isto é, se uma porta for puxada ou empurrada paralelamente ao seu plano, ela não vai girar. Já a componente tangencial, F_⊥, é perpendicular ao vetor posição. Essa componente, portanto, provoca rotações e tem módulo F⊥=Fsen⁡(θ){displaystyle F_{perp }=Foperatorname {sen}(theta )}. Isso equivale a puxar ou empurrar uma porta perpendicularmente a seu plano, o que provoca sua rotação.^[2]

A capacidade de F fazer um corpo girar não depende apenas do módulo da componente tangencial F_⊥, mas também da distância entre o ponto de aplicação de F e o ponto em que se origina o vetor r, isto é, do módulo desse vetor, cujo valor é r{displaystyle r}. Em uma interpretação simétrica, pode-se definir a componente de r ortogonal à força F (comumente denominada braço de alavanca), simbolizada por r_⊥ e cujo módulo é r⊥=rsen⁡(θ){displaystyle r_{perp }=roperatorname {sen}(theta )}.^[3] Para levar em conta os dois fatores, em ambas as interpretações, defini-se uma grandeza chamada de torque (τ{displaystyle tau }) como o produto das duas grandezas de cada situação:^[2]

Definição de torque (módulo) τ=rF⊥=r⊥F=rFsen⁡(θ){displaystyle tau =rF_{perp }=r_{perp }F=rFoperatorname {sen}(theta )}

Definição vetorial |

Relação dos vetores torque (τ{displaystyle {boldsymbol {tau }}}), força (F{displaystyle mathbf {F} }), momento linear (p{displaystyle mathbf {p} }), momento angular (L{displaystyle mathbf {L} }) e posição (r{displaystyle mathbf {r} }).

Inicialmente, defini-se o torque τ{displaystyle tau } de um corpo rígido capaz de girar em torno de um eixo fixo, com todas as partículas do corpo sendo forçadas a se mover em trajetórias circulares com centro nesse eixo. Isto é, o movimento de cada partícula está contido em um plano específico. Para ampliar a definição de torque e o escopo de sua aplicação, de modo que uma partícula possa se mover em uma trajetória qualquer em relação a um ponto fixo (em vez de um eixo fixo) e que a trajetória não seja necessariamente circular, o torque será considerado não mais como um escalar, mas sim como um vetor. Com isso, define-se o torque como sendo o produto vetorial, respectivamente, entre o vetor posição r{displaystyle mathbf {r} } (referido a uma origem O{displaystyle O}) e a força aplicada ao corpo nessa posição F{displaystyle mathbf {F} }:^[1]

Definição de torque (vetorial) τ=r×F{displaystyle {boldsymbol {tau }}=mathbf {r} times mathbf {F} }

Essa definição de torque, assim como qualquer outro produto vetorial, obedece a convenção dextrógira, isto é, a regra da mão direita.^[4] O produto vetorial é formalmente calculado de forma análoga a um determinante, cujas linhas são formadas pelos versores cartesianos e pelas componentes do vetor posição e do vetor força. Considerando r=(x,y,z){displaystyle mathbf {r} =(x,y,z)}, F=(Fx,Fy,Fz){displaystyle mathbf {F} =(F_{x},F_{y},F_{z})}, e i{displaystyle mathbf {i} }, j{displaystyle mathbf {j} } e k{displaystyle mathbf {k} } como os vetores unitários, respectivamente, nas direções x{displaystyle x}, y{displaystyle y} e z{displaystyle z}, obtém-se a seguinte expressão:^[5]

r×F=|ijkxyzFxFyFz|{displaystyle mathbf {r} times mathbf {F} ={begin{vmatrix}mathbf {i} &mathbf {j} &mathbf {k} \x&y&z\F_{x}&F_{y}&F_{z}end{vmatrix}}}

Portanto, usando o teorema de Laplace para o cálculo de determinantes, o torque exercido pode ser expresso, em componentes cartesianas, das seguintes formas:

τ=|yzFyFz|i−|xzFxFz|j+|xyFxFy|k{displaystyle {boldsymbol {tau }}={begin{vmatrix}y&z\F_{y}&F_{z}end{vmatrix}}mathbf {i} -{begin{vmatrix}x&z\F_{x}&F_{z}end{vmatrix}}mathbf {j} +{begin{vmatrix}x&y\F_{x}&F_{y}end{vmatrix}}mathbf {k} }

τ=(yFz−zFy)i−(xFz−zFx)j+(xFy−yFx)k=(yFz−zFy,zFx−xFz,xFy−yFx){displaystyle {boldsymbol {tau }}=(yF_{z}-zF_{y})mathbf {i} -(xF_{z}-zF_{x})mathbf {j} +(xF_{y}-yF_{x})mathbf {k} =(yF_{z}-zF_{y},zF_{x}-xF_{z},xF_{y}-yF_{x})}

Unidades |

A unidade de medida para o torque definida pelo Sistema Internacional de Unidades é o newton-metro. Ainda que matematicamente a ordem destes fatores, "newton" e "metros", seja indiferente, o BIPM (Bureau International des Poids et Mesures) especifica^[6] que a ordem deve ser N·m e não m·N.

Segunda lei de Newton para rotações |

Ver artigo principal: Leis de Newton

Eixo fixo |

Um torque pode fazer um corpo rígido girar, como acontece, por exemplo, quando abrimos ou fechamos uma porta. Para relacionar o torque resultante aplicado a um corpo rígido à aceleração angular a produzida por esse torque, faz-se a analogia com a segunda lei de Newton para translações (Fres=ma{displaystyle F_{res}=ma}). No caso, o torque resultante τres{displaystyle tau _{res}} é análogo à força resultante Fres{displaystyle F_{res}}, a aceleração angular α{displaystyle alpha } à aceleração a{displaystyle a}, e o momento de inércia I{displaystyle I} à massa m{displaystyle m}. Desse modo, tem-se a seguinte equação:^[3]

2ª lei de Newton para rotações (eixo fixo) τres=Iα{displaystyle tau _{res}=Ialpha }

Demonstração[3][7]

Consideremos uma situação simples na qual uma partícula de massa m{displaystyle m} gira em torno de um ponto central em uma órbita de raio r{displaystyle r}. Supondo que, mesmo sob a ação de uma força F{displaystyle mathbf {F} }, a partícula esteja confinada a girar apenas em torno desse eixo, perpendicular ao plano do movimento e que passa pelo ponto central. A partícula, então, descreve uma trajetória circular acelerada em torno desse ponto. Como apenas a componente F⊥{displaystyle mathbf {F_{perp }} } da força F{displaystyle mathbf {F} } produz torque, ele pode ser escrito, em módulo, como: τ=rF⊥{displaystyle tau =rF_{perp }} A força F⊥{displaystyle F_{perp }} produz uma aceleração a⊥{displaystyle a_{perp }} na direção tangente à trajetória circular. Então, pela segunda lei de Newton para translações: F⊥=ma⊥{displaystyle F_{perp }=ma_{perp }} Lembrando que a aceleração tangencial se relaciona à aceleração angular α{displaystyle alpha } por a⊥=αr{displaystyle a_{perp }=alpha r}, unem-se todas as equações para obter o seguinte resultado: τ=rF⊥=r(ma⊥)=mr(αr)=(mr2)α{displaystyle tau =rF_{perp }=r(ma_{perp })=mr(alpha r)=(mr^{2})alpha } O fator mr2{displaystyle mr^{2}} nessa equação é o momento de inércia I{displaystyle I} associado a uma partícula. Portanto: τ=Iα{displaystyle tau =Ialpha } Para generalizar essa equação para um corpo rígido de n{displaystyle n} partículas que gira em torno de um eixo fixo, basta somar os torques sofridos por cada partícula. Como a aceleração angular é sofrida igualmente por todas as partículas, resulta que o torque resultante está relacionado ao momento de inércia do corpo rígido. Dessa forma: τres=∑i=1nτi=∑i=1nIiα=(∑i=1nmiri2)α{displaystyle tau _{res}=sum _{i=1}^{n}tau _{i}=sum _{i=1}^{n}I_{i}alpha =(sum _{i=1}^{n}m_{i}r_{i}^{2})alpha } Como o momento de inércia I{displaystyle I} do corpo rígido, como um todo, é tal que I=∑i=1nmiri2{displaystyle I=sum _{i=1}^{n}m_{i}r_{i}^{2}}, temos que: τres=Iα{displaystyle tau _{res}=Ialpha }

Forma geral |

Caso o torque resultante não seja paralelo à aceleração angular, a relação entre as duas grandezas vetoriais não será dada através de um número, o momento de inércia, mas sim por um tensor, conhecido como o tensor de inércia.

2ª lei de Newton para rotações (forma geral) τres=Iα⇔(τxτyτz)=(IxxIxyIxzIyxIyyIyzIzxIzyIzz)(αxαyαz){displaystyle {boldsymbol {tau }}_{res}=mathbf {I} {boldsymbol {alpha }}Leftrightarrow {begin{pmatrix}tau _{x}\tau _{y}\tau _{z}end{pmatrix}}={begin{pmatrix}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}end{pmatrix}}{begin{pmatrix}alpha _{x}\alpha _{y}\alpha _{z}end{pmatrix}}}

Nesta equação matricial, cada entrada Iij{displaystyle I_{ij}}, em que i{displaystyle i} e j{displaystyle j} variam entre 1, 2 e 3, pode ser calculada da seguinte forma:

Iij=∫[(x12+x22+x32)δij−xixj]dm{displaystyle I_{ij}=int left[left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}right)delta _{ij}-x_{i}x_{j}right]dm}.

De modo que x1=x{displaystyle x_{1}=x}, x2=y{displaystyle x_{2}=y} e x3=z{displaystyle x_{3}=z}.

Relação com o momento angular |

O torque resultante (referido a uma particular origem O{displaystyle O}) sofrido por uma partícula também pode ser expresso como sendo a derivada temporal do momento angular (referido à mesma origem). Considerando L{displaystyle mathbf {L} } como o vetor momento angular da partícula, escreve-se matematicamente:^[8]

2ª lei de Newton para rotações (momento angular) τres=dLdt{displaystyle {boldsymbol {tau }}_{res}={frac {dmathbf {L} }{dt}}}

Demonstração[8][9]

Tomando a definição de momento angular: L=r×p{displaystyle {boldsymbol {L}}=mathbf {r} times mathbf {p} ,!} Em que p{displaystyle mathbf {p} } é o momento linear da partícula. Derivando essa expressão através da regra da cadeia, obtém-se: dLdt=ddt(r×p)=drdt×p+r×dpdt{displaystyle {frac {dmathbf {L} }{dt}}={frac {d}{dt}}left(mathbf {r} times mathbf {p} right)={frac {dmathbf {r} }{dt}}times mathbf {p} +mathbf {r} times {frac {dmathbf {p} }{dt}}} Pela segunda lei de Newton para translações, dpdt=Fres{displaystyle {frac {dmathbf {p} }{dt}}=mathbf {F} _{res}}. Como drdt=v{displaystyle {frac {dmathbf {r} }{dt}}=mathbf {v} }, a velocidade da partícula e v{displaystyle mathbf {v} } é paralelo a p{displaystyle mathbf {p} }, drdt×p=v×p=0{displaystyle {frac {dmathbf {r} }{dt}}times mathbf {p} =mathbf {v} times mathbf {p} =0}. Dessa forma: dLdt=r×Fres{displaystyle {frac {dmathbf {L} }{dt}}=mathbf {r} times mathbf {F} _{res}} Logo: τres=dLdt{displaystyle {boldsymbol {tau }}_{res}={frac {dmathbf {L} }{dt}}}

Equilíbrio de rotação |

Ver artigo principal: Estática

Diz-se que um corpo rígido (como uma alavanca, por exemplo) está em equilíbrio quando a soma vetorial de todos os seus momentos de torque forem o vetor nulo.

Condição de equilíbrio de rotação τres=∑i=1nτi=0{displaystyle {boldsymbol {tau }}_{res}=sum _{i=1}^{n}{boldsymbol {tau }}_{i}=mathbf {0} }

Problemas envolvendo torque |

Bloco pendurado por disco |

Imagem de um bloco pendurado por uma corda enrolada em um disco.		Diagrama de forças referente ao problema.

Tomemos um disco homogêneo, de massa M{displaystyle M} e raio R{displaystyle R}, montado em um eixo horizontal fixo; e um bloco de massa m{displaystyle m} pendurado por uma corda (de massa desprezível) enrolada na borda do disco. Conhecidos os valores desses parâmetros e usando as leis de Newton para translação e para rotação é possível determinar a aceleração do bloco em queda, a aceleração angular do disco e a tensão da corda, contanto que seja considerado que a corda não escorrega e que não há atrito no eixo.^[7]

Por um lado, considerando o bloco como um sistema, pode-se relacionar a aceleração a às forças que agem sobre o bloco através da segunda lei de Newton para translação (Fres=ma{displaystyle F_{res}=ma}). Por outro, ao considerar o disco como um sistema, relaciona-se a aceleração angular α{displaystyle alpha } ao torque que age sobre o disco através da segunda lei de Newton para rotação (τres=Iα{displaystyle tau _{res}=Ialpha }). Por fim, para combinar os movimentos do bloco e do disco, utiliza-se do fato de que a aceleração linear do bloco e a aceleração linear (tangencial) da borda do disco são iguais, sendo representadas por a{displaystyle a}.^[7]

As forças atuantes estão representadas no diagrama de corpo livre do sistema. A força de tensão na corda é T{displaystyle T} e o peso do bloco é P{displaystyle P}, cujo módulo é P=mg{displaystyle P=mg}. Podemos escrever a segunda lei de Newton para as componentes ao longo de um eixo vertical y (Fres,y=may{displaystyle F_{res,y}=ma_{y}}) como:^[7]

Fres=ma⟹T−mg=ma{displaystyle F_{res}=maimplies T-mg=ma} (1){displaystyle (1)}

Entretanto, não é possível obter o valor de a{displaystyle a} usando apenas esta equação porque ela também contém a incógnita T{displaystyle T}. Comumente em problemas de mecânica, quando se esgotam as conclusões a serem tiradas acerca das forças em um eixo (no caso, o eixo y), observa-se as forças de outros eixos (como o eixo x) para obter mais equações e formar um sistema. Da mesma forma, pode ser útil usar as condições de rotação do disco para formar tal sistema.^[7][10]

Para calcular os torques e o momento de inércia, usamos o fato de que o eixo de rotação é perpendicular ao disco e passa pelo seu centro. Nesse caso, os torques são dados pela equação τ=rF⊥{displaystyle tau =rF_{perp }}. A força peso do disco e a força do eixo agem sobre o centro do disco e, portanto, a uma distância r=0{displaystyle r=0}, de modo que o torque produzido por essas forças seja nulo. A força T{displaystyle T} exercida pela corda sobre o disco age a uma distância r=R{displaystyle r=R} do eixo e é tangente à borda do disco. Assim, a força produz um torque τ=−RT{displaystyle tau =-RT}, negativo pois o torque tende a fazer o disco girar no sentido horário (lembrando que a regra da mão direita estabelece o sentido anti-horário de rotação como positivo). O momento de inércia do disco é I=MR2/2{displaystyle I=MR^{2}/2}. Assim, escreve-se a equação τres=Iα{displaystyle tau _{res}=Ialpha } da seguinte forma:^[10]

τres=Iα⟹−RT=MR22α⟹T=−12MαR{displaystyle tau _{res}=Ialpha implies -RT={frac {MR^{2}}{2}}alpha implies T=-{frac {1}{2}}Malpha R}

Como a aceleração linear do bloco e a aceleração tangencial do disco são iguais, é válida a equação a=αR{displaystyle a=alpha R}. Substituindo este valor na equação anterior, obtém-se:^[10]

T=−12Ma{displaystyle T=-{frac {1}{2}}Ma} (2){displaystyle (2)}

Substituindo a equação (2) na equação (1), encontra-se a aceleração obtida pelo corpo:^[10]

−12Ma−mg=ma⟹(m+12M)a=−mg{displaystyle -{frac {1}{2}}Ma-mg=maimplies left(m+{frac {1}{2}}Mright)a=-mg}

a=−mgm+12M{displaystyle a=-{frac {mg}{m+{frac {1}{2}}M}}}

Com esse resultado também é possível obter o valor da tração na corda, substituindo esta equação na equação (2):

T=−12M(−mgm+12M){displaystyle T=-{frac {1}{2}}Mleft(-{frac {mg}{m+{frac {1}{2}}M}}right)}

T=Mmg2m+M{displaystyle T={frac {Mmg}{2m+M}}}

Cálculos de Forças |

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Uma forma mais geral e simples de somar qualquer tipo de forças consiste em deslocá-las
todas para um mesmo ponto, mas por cada força F→{displaystyle {vec {F}}} deslocada, deverá ser adicionado um torque, igual ao produto do módulo da força e o braço em relação ao ponto onde foi deslocada. A figura abaixo mostra uma força F→{displaystyle {vec {F}}} aplicada num ponto P, que queremos deslocar para a origem O.

O deslocamento de uma força para um ponto fora da sua linha de ação introduz um torque τ{displaystyle tau }

O vetor posição r→{displaystyle {vec {r}}} do ponto P tem módulo r e faz um ângulo θ{displaystyle theta } com a força F→{displaystyle {vec {F}}} O braço da força em relação a O, que é a distância entre O e a linha de ação da força, é igual a r sin θ{displaystyle theta } e, portanto, o torque da força em relação a O é:

τ=Frsinθ{displaystyle tau =F;r;sintheta }

Repare que (Fsinθ){displaystyle (F;sintheta )} é a componente da força na direção perpendicular ao vetor posição r→{displaystyle {vec {r}}} e, assim, podemos dizer que o torque é produzido unicamente pela componente da força perpendicular ao deslocamento, e o valor do torque é igual ao valor absoluto da componente perpendicular da força, vezes a distância r que foi deslocada. O produto denomina-se produto vetorial entre os vetores r→{displaystyle {vec {r}}} e F→{displaystyle {vec {F}}}

No caso da soma das forças paralelas , o deslocamento das forças para o ponto S
introduz dois torques, (τ1=F1d1){displaystyle (tau _{1}=F_{1}d_{1})} e (τ2=F2d2){displaystyle (tau _{2}=F_{2}d_{2})} os dois torques anulam-se e a resultante das duas forças,do ponto S, é a força F, sem nenhum torque.

É também importante ter em conta o sentido de cada torque. A rotação produzida por F→{displaystyle {vec {F}}} quando for deslocada para a origem será sempre no plano definido por r→{displaystyle {vec {r}}} e F→{displaystyle {vec {F}}}. Se designarmos esse plano por xy, uma forma conveniente de representar os dois sentidos possíveis do torque é por meio dos versores e→z{displaystyle {vec {e}}_{z}} e −e→z{displaystyle -{vec {e}}_{z}} Assim, podemos definir o vetor torque τ→{displaystyle {vec {tau }}} usando a expressão vetorial:

τ→=r→×F→{displaystyle {vec {tau }}={vec {r}}times {vec {F}}}

em que r→×F→{displaystyle {vec {r}}times {vec {F}}} é, por definição, um vetor com módulo dado pela

equação τ=Frsinθ{displaystyle tau =F;r;sintheta } , direção perpendicular ao plano definido por

r→{displaystyle {vec {r}}} e F→{displaystyle {vec {F}}} e sentido dado pela regra da mão direita:

afastando os dedos polegar, indicador e médio da mão direita, se o indicador aponta no

sentido de r→{displaystyle {vec {r}}} e o dedo médio no sentido de F→{displaystyle {vec {F}}} , o sentido

de τ→{displaystyle {vec {tau }}} é dado pelo dedo polegar.

É de salientar que com essa definição, o produto vetorial não é comutativo; (a→×b→){displaystyle ({vec {a}}times {vec {b}})} e (b→×a→){displaystyle ({vec {b}}times {vec {a}})} são vetores com o mesmo módulo e direção, mas com sentidos opostos. Como o ângulo de um vetor consigo próprio é zero, o produto a→×a→{displaystyle {vec {a}}times {vec {a}}} é sempre nulo; em particular,

e→x×e→x=e→y×e→y=0{displaystyle {vec {e}}_{x}times {vec {e}}_{x}={vec {e}}_{y}times {vec {e}}_{y}=0}

O produto de dois versores perpendiculares é outro versor perpendicular a
eles; assim, temos que

(e→x×e→y=e→z){displaystyle ({vec {e}}_{x}times {vec {e}}_{y}={vec {e}}_{z})} e (−e→y×e→x=e→z){displaystyle (-{vec {e}}_{y}times {vec {e}}_{x}={vec {e}}_{z})} .

Consequentemente, escolhendo eixos em que os vetores r e F só tenham componentes x e y, obtemos o seguinte resultado útil para calcular produtos vetoriais:

τ→=|xyFxFy|e→z=(xFy−yFx)e→z{displaystyle {vec {tau }}={begin{vmatrix}x&y\F_{x}&F_{y}end{vmatrix}}{vec {e}}_{z}=(xF_{y}-yF_{x}){vec {e}}_{z}}

Concluiremos para o fato de que, em contraste com as forças, os torques sim são vetores livres. O mesmo torque aplicado em qualquer ponto de um objeto produz o mesmo efeito. Uma força e um torque perpendicular a ela são sempre equivalentes à força, sem torque, atuando em outro ponto diferente. Isto é, deslocando a força na direção e distância apropriada, podemos introduzir um torque igual e oposto ao que queremos anular; como os dois torques são vetores livres, somam-se dando um torque nulo. O ponto de aplicação da resultante de várias forças é o ponto onde podemos somá-las produzindo um torque resultante nulo.^[11]

Momento e Binários |

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Binário

Momento de uma força

A regra das alavancas pode ser explicada introduzindo o conceito de momento. Define-se o valor do momento de uma força em relação a um ponto O, como o produto do módulo da força pela distância desde o ponto O até a linha de ação da força (braço b{displaystyle b}),

MO=Fb{displaystyle M_{mathrm {O} }=F,b}

O momento MO{displaystyle M_{mathrm {O} }} representa o efeito de rotação produzido pela força, se o ponto O do corpo rígido estivesse fixo, podendo o corpo rodar à volta desse ponto.^[11]

Quanto mais afastada estiver a linha de ação da força em relação ao ponto fixo O, maior será o efeito rotativo produzido pela força. Isso explica porquê é mais fácil fechar a porta quanto mais longe das dobradiças for aplicada a força; a distância entre a linha de ação da força e a linha das dobradiças é o braço e quanto maior for, maior será o momento da força aplicada.

Sendo r→{displaystyle {vec {r}}} o vetor posição do ponto P em que a força F→{displaystyle {vec {F}}} é aplicada, em relação à origem O, o braço da força em relação à origem O é igual a rsin⁡θ{displaystyle r,sin theta }, em que o ângulo θ{displaystyle theta } é o ângulo entre os vetores r→{displaystyle {vec {r}}} e F→{displaystyle {vec {F}}} (figura ao lado).^[11]

Conclui-se que valor do momento da força em relação ao ponto O é igual a,

MO=Frsin⁡θ{displaystyle M_{mathrm {O} }=F,r,sin theta }

Repare-se que (Fsin⁡θ{displaystyle F,sin theta }) é a componente da força na direção perpendicular ao vetor posição r→{displaystyle {vec {r}}}, ou seja, o valor do momento da força é também igual ao produto da distância desde o ponto de aplicação até a origem, r{displaystyle r}, pela componente perpendicular da força. O momento produzido pela força é devido unicamente à componente perpendicular da força.^[11]

A equação acima mostra que o momento da força é igual ao módulo do produto vetorial entre o vetor posição e a força e mostra a conveniência de definir o momento em forma vetorial:

M→O=r→×F→{displaystyle {vec {M}}_{mathrm {O} }={vec {r}}times {vec {F}}}

O vetor M→O{displaystyle {vec {M}}_{mathrm {O} }} representa um efeito de rotação num plano perpendicular a ele.

Na figura anterior o momento é um vetor que aponta para fora da figura e costuma ser representado por uma seta circular, no sentido da rotação que segue a regra da mão direita em relação ao sentido do vetor M→O{displaystyle {vec {M}}_{mathrm {O} }}.

Um binário é um conjunto de duas forças F→{displaystyle {vec {F}}} e −F→{displaystyle -{vec {F}}}, iguais e opostas, com linhas de ação paralelas, como mostra a figura ao lado.

O binário não produz nenhuma translação em nenhum sentido, mas apenas rotação. O momento total, em relação à origem O, é a soma dos momentos das duas forças,

r→Q×F→−r→P×F→=(r→Q−r→P)×F→{displaystyle {vec {r}}_{mathrm {Q} }times {vec {F}}-{vec {r}}_{mathrm {P} }times {vec {F}}=({vec {r}}_{mathrm {Q} }-{vec {r}}_{mathrm {P} })times {vec {F}}}

Os dois vetores de posição dos pontos Q e P dependem da escolha da origem, mas a sua diferença é o vetor r→PQ{displaystyle {vec {r}}_{mathrm {PQ} }} na figura, que não depende do ponto onde estiver a origem.

Isso quer dizer que o binário produz um momento que não depende de nenhum ponto de referência,

M→=r→PQ×F→{displaystyle {vec {M}}={vec {r}}_{mathrm {PQ} }times {vec {F}}}

Na figura abaixo o momento do binário é um vetor para fora da figura, representado pela seta circular no sentido anti-horário.

Procedimento para deslocar uma força de um ponto P para outro ponto Q

Uma força F→{displaystyle {vec {F}}} aplicada num ponto P pode ser deslocada para outro ponto Q, fora da sua linha de ação, usando o procedimento ilustrado na figura acima.

Adicionam-se duas forças −F→{displaystyle -{vec {F}}} e F→{displaystyle {vec {F}}} nos pontos P e Q e, para não alterar nada, adiciona-se também um binário M→{displaystyle {vec {M}}} com o mesmo módulo do binário das forças introduzidas, mas no sentido oposto.

No caso da figura anterior, M{displaystyle M} deve ser no sentido horário e com módulo igual ao produto de F{displaystyle F} pela distância desde Q até a linha de ação da força original; ou, em forma vetorial, M→=r→QP×F→{displaystyle {vec {M}}={vec {r}}_{mathrm {QP} }times {vec {F}}}.

No ponto P há duas forças iguais e opostas que se anulam, ficando no fim a força F→{displaystyle {vec {F}}} no ponto Q e o binário M→=r→QP×F→{displaystyle {vec {M}}={vec {r}}_{mathrm {QP} }times {vec {F}}} que é igual ao momento M→Q{displaystyle {vec {M}}_{Q}} que a força original, em P, produz em relação ao ponto Q.

Conclui-se que para somar um conjunto de forças num ponto Q, somam-se os momentos das forças em relação a esse ponto, dando um binário resultante, e somam-se as forças como vetores livres. O resultado é a força resultante no ponto Q e o binário resultante.

Quando as direções de todas as forças estiverem num mesmo plano, será conveniente definir dois dos eixos coordenados nesse plano, por exemplo x{displaystyle x} e y{displaystyle y} e a origem no ponto onde vão ser somadas as forças. Assim sendo, o momento de cada força F→{displaystyle {vec {F}}} em relação à origem introduz um binário que tem unicamente componente segundo z{displaystyle z}, dada pelo determinante,

Mz=|xyFxFy|{displaystyle M_{z}=left|{begin{array}{cc}x&y\F_{x}&F_{y}end{array}}right|}

em que x{displaystyle x} e y{displaystyle y} são as coordenadas do ponto onde está a ser aplicada a força F→{displaystyle {vec {F}}}.

Para obter o binário resultante bastará somar os valores de Mz{displaystyle M_{z}} obtidos para cada força.^[11]

Ver também |

• Impulso


• Movimento circular uniforme


• Binário do motor

Referências

Bibliografia |

• 
  Halliday, David (2012). Fundamentos de Física Volume 1 - Mecânica (9ª ed). Rio de Janeiro, RJ: LTC - Livros Técnicos e Científicos 
  

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